கூட்டு, பெருக்கல் சராசரிகளின் சமனிலி: திருத்தங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு

உள்ளடக்கம் நீக்கப்பட்டது உள்ளடக்கம் சேர்க்கப்பட்டது

வரியுள்

14:48, 14 சூன் 2021 இல் நிலவும் திருத்தம்

படம்-1: a, b என்ற இரு எண்களின் AM–GM சமனிலியின் பட விளக்கம்

கணிதத்தில் கூட்டு, பெருக்கல் சராசரிகளின் சமனிலியின் (inequality of arithmetic and geometric means) கூற்றுப்படி, எதிர்மமில்லா மெய்யெண்கள் கொண்ட ஒரு பட்டியலின் கூட்டுச்சராசரியானது அதே பட்டியலின் பெருக்கல் சராசரியைவிடப் பெரியதாக அல்லது சமமாக இருக்கும். மேலும் அப்பட்டியலிலுள்ள எண்கள் அனைத்தும் ஒன்றுக்கொன்று சமமானவையாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, இவ்விரு சராசரிகளும் சமமாக இருக்கும்.

இச்சமனிலி சுருக்கமாக AM–GM சமனிலி (AM–GM inequality) எனப்படுகிறது.

இரு எதிர்மமில்லா மெய்யெண்களுக்கான சமனிலி: $x$ $y$ இரு எதிர்மமில்லா மெய்யெண்கள் எனில் அவற்றின் கூட்டு, பெருக்கல் சராசரிகளின் சமனிலி:

{\frac {x+y}{2}}\geq {\sqrt {xy}}

x = y

என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, இச்சமனிலியில் சமக்குறி உண்மையாக இருக்கும்.

தருவித்தல்:

ஒரு மெய்யெண்ணின் வர்க்கம் எப்பொழுதும் எதிர்மமில்லா எண்ணாகவே இருக்கும் என்பதால்:

{\begin{aligned}0&\leq (x-y)^{2}\\&=x^{2}-2xy+y^{2}\\&=x^{2}+2xy+y^{2}-4xy\\&=(x+y)^{2}-4xy.\end{aligned}}

$(x + y) 2 \geq 4 xy$ ,

(x - y) 2 = 0

, அதாவது.

x = y

ஆக இருந்தால் மட்டுமே மேலுள்ள சமனிலியில் சமக்குறி உண்மையாக இருக்கும்.

சமனிலியின் இருபுறமும் நேர்ம வர்க்கமூலம் எடுத்து இரண்டால் வகுக்க:

{\frac {x+y}{2}}\geq {\sqrt {xy}}

வடிவவியல் விளக்கம்:

படம்-2: $(x + y) 2 \geq 4 xy$ இன் நிறுவல். இச்சமனிலியின் இருபுறமும் வர்க்கமூலம் கண்டு, இரண்டால் வகுத்தால் AM–GM சமனிலி கிடைக்கும்.^[1]

$x$ $y$ என்பன செவ்வகத்தின் பக்க நீளங்கள் எனில் அச்செவ்வகத்தின் சுற்றளவு $2 x + 2 y$ ; பரப்பளவு $xy$ . அதேபோல $\sqrt xy$ பக்க நீளமுள்ள சதுரத்தின் சுற்றளவு $4 \sqrt xy$ ; பரப்பளவு $xy$ . அதாவது இந்த செவ்வகம் மற்றும் சதுரங்களின் பரப்பளவுகள் சமம். ஆனால் செவ்வகத்தின் சுற்றளவானது சதுரத்தின் சுற்றளவைவிடப் பெரிது (படம்-2 இல் காண்க). எனவே,

2 x + 2 y \geq 4 \sqrt xy

{\frac {x+y}{2}}\geq {\sqrt {xy}}

மேற்கோள்கள்

↑ Hoffman, D. G. (1981), "Packing problems and inequalities", in Klarner, David A. (ed.), The Mathematical Gardner, Springer, pp. 212–225, எண்ணிம ஆவணச் சுட்டி:10.1007/978-1-4684-6686-7_19

வெளியிணைப்புகள்

Arthur Lohwater (1982). "Introduction to Inequalities". Online e-book in PDF format.

[1] Hoffman, D. G. (1981), "Packing problems and inequalities", in Klarner, David A. (ed.), The Mathematical Gardner, Springer, pp. 212–225, எண்ணிம ஆவணச் சுட்டி:10.1007/978-1-4684-6686-7_19

[1]

@@ வரிசை 1: / வரிசை 1: @@
 [[File:AM GM inequality visual proof.svg|thumb|படம்-1: a, b என்ற இரு எண்களின் AM–GM சமனிலியின் பட விளக்கம்]]
-[[File:AM GM inequality animation.gif|thumb|படம்-2: {{math|(''x'' + ''y'')<sup>2</sup> ≥ 4''xy''}} இன் நிறுவல். இச்சமனிலியின் இருபுறமும் [[வர்க்கமூலம்]] கண்டு, இரண்டால் வகுத்தால் AM–GM சமனிலி கிடைக்கும்.<ref>{{citation
- | last = Hoffman | first = D. G.
- | editor-last = Klarner | editor-first = David A. | editor-link = David A. Klarner
- | contribution = Packing problems and inequalities
- | doi = 10.1007/978-1-4684-6686-7_19
- | pages = 212–225
- | publisher = Springer
- | title = The Mathematical Gardner
- | year = 1981}}</ref>]]
 [[கணிதம்|கணிதத்தில்]] '''கூட்டு, பெருக்கல் சராசரிகளின் சமனிலி'''யின்  ('''inequality of arithmetic and geometric means''') கூற்றுப்படி, எதிர்மமில்லா மெய்யெண்கள் கொண்ட ஒரு பட்டியலின் [[கூட்டுச்சராசரி]]யானது அதே பட்டியலின் [[பெருக்கல் சராசரி]]யைவிடப் பெரியதாக அல்லது சமமாக இருக்கும். மேலும் அப்பட்டியலிலுள்ள எண்கள் அனைத்தும் ஒன்றுக்கொன்று சமமானவையாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, இவ்விரு சராசரிகளும் சமமாக இருக்கும்.
@@ வரிசை 35: / வரிசை 26: @@
 வடிவவியல் விளக்கம்:
+[[File:AM GM inequality animation.gif|thumb|படம்-2: {{math|(''x'' + ''y'')<sup>2</sup> ≥ 4''xy''}} இன் நிறுவல். இச்சமனிலியின் இருபுறமும் [[வர்க்கமூலம்]] கண்டு, இரண்டால் வகுத்தால் AM–GM சமனிலி கிடைக்கும்.<ref>{{citation
+ | last = Hoffman | first = D. G.
+ | editor-last = Klarner | editor-first = David A. | editor-link = David A. Klarner
+ | contribution = Packing problems and inequalities
+ | doi = 10.1007/978-1-4684-6686-7_19
+ | pages = 212–225
+ | publisher = Springer
+ | title = The Mathematical Gardner
+ | year = 1981}}</ref>]]
 &nbsp;{{mvar|x}} &nbsp;{{mvar|y}} என்பன [[செவ்வகம்|செவ்வகத்தின்]] பக்க நீளங்கள் எனில் அச்செவ்வகத்தின் [[சுற்றளவு]] {{math|2''x'' +  2''y''}}; [[பரப்பளவு]] &nbsp;{{mvar|xy}}. அதேபோல {{math|{{radical|''xy''}}}} பக்க நீளமுள்ள [[சதுரம்|சதுரத்தின்]] சுற்றளவு {{math|4{{radical|''xy''}}}}; பரப்பளவு &nbsp;{{mvar|xy}}. அதாவது இந்த செவ்வகம் மற்றும் சதுரங்களின் பரப்பளவுகள் சமம். ஆனால் செவ்வகத்தின் சுற்றளவானது சதுரத்தின் சுற்றளவைவிடப் பெரிது (படம்-2 இல் காண்க). எனவே,