Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında gamma dağılımı iki parametreli bir sürekli olasılık dağılımıdır . Bu parametrelerden biri ölçek parametresi θ ; diğeri ise şekil parametresi k olarak anılır. Eğer k tam sayı ise, gamma dağılımı k tane üstel dağılım gösteren rassal değişkenlerin toplamını temsil eder; rassal değişkenlerin her biri nin üstel dağılımı için parametre
1
θ
{\displaystyle {\frac {1}{\theta }}}
Gamma
Olasılık yoğunluk fonksiyonu
Yığmalı dağılım fonksiyonu
Parametreler
k
>
0
{\displaystyle k>0\,}
şekil (reel )
θ
>
0
{\displaystyle \theta >0\,}
ölçek (reel)
Destek
x
[
0
;
∞
)
{\displaystyle x\ [0;\infty )\!}
Olasılık yoğunluk fonksiyonu (OYF)
x
k
−
1
exp
(
−
x
/
θ
)
Γ
(
k
)
θ
k
{\displaystyle x^{k-1}{\frac {\exp {\left(-x/\theta \right)}}{\Gamma (k)\,\theta ^{k}}}\,\!}
Birikimli dağılım fonksiyonu (YDF)
γ
(
k
,
x
/
θ
)
Γ
(
k
)
{\displaystyle {\frac {\gamma (k,x/\theta )}{\Gamma (k)}}\,\!}
Ortalama
k
θ
{\displaystyle k\theta \,\!}
Medyan
basit kapalı form yok
Mod
(
k
−
1
)
θ
for
k
≥
1
{\displaystyle (k-1)\theta {\text{ for }}k\geq 1\,\!}
Varyans
k
θ
2
{\displaystyle k\theta ^{2}\,\!}
Çarpıklık
2
k
{\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {k}}}\,\!}
Fazladan basıklık
6
k
{\displaystyle {\frac {6}{k}}\,\!}
Entropi
k
+
ln
θ
+
ln
Γ
(
k
)
{\displaystyle k+\ln \theta +\ln \Gamma (k)\!}
+
(
1
−
k
)
ψ
(
k
)
{\displaystyle +(1-k)\psi (k)\!}
Moment üreten fonksiyon (mf)
(
1
−
θ
t
)
−
k
for
t
<
1
/
θ
{\displaystyle (1-\theta \,t)^{-k}{\text{ for }}t<1/\theta \,\!}
Karakteristik fonksiyon
(
1
−
θ
i
t
)
−
k
{\displaystyle (1-\theta \,i\,t)^{-k}\,\!}
Bir rassal değişken olan X in θ ölçek parametresi ve k şekil parametresi ile
tanımlanmış bir gamma dağılımı ile ifade edilmesi için şu notasyon kullanılır:
X
∼
Γ
(
k
,
θ
)
v
e
y
a
X
∼
Gamma
(
k
,
θ
)
.
{\displaystyle X\sim \Gamma (k,\theta )\,\,\mathrm {veya} \,\,X\sim {\textrm {Gamma}}(k,\theta ).}
Gamma dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu şu şekilde bir gamma fonksiyonu ile ifade edilebilir:
f
(
x
;
k
,
θ
)
=
x
k
−
1
e
−
x
/
θ
θ
k
Γ
(
k
)
f
o
r
x
>
0
a
n
d
k
,
θ
>
0.
{\displaystyle f(x;k,\theta )=x^{k-1}{\frac {e^{-x/\theta }}{\theta ^{k}\,\Gamma (k)}}\ \mathrm {for} \ x>0\,\,\mathrm {and} \,\,k,\theta >0.}
Bu çeşit parametrelerle ifade edilme yukarıda verilen bilgi kutusunda ve grafiklerde kullanılmıştır.
Alternatif bir şekilde, gamma dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu bir şekil parametresi
α
=
k
{\displaystyle \alpha =k}
β
=
1
/
θ
{\displaystyle \beta =1/\theta }
g
(
x
;
α
,
β
)
=
x
α
−
1
β
α
e
−
β
x
Γ
(
α
)
f
o
r
x
>
0
.
{\displaystyle g(x;\alpha ,\beta )=x^{\alpha -1}{\frac {\beta ^{\alpha }\,e^{-\beta \,x}}{\Gamma (\alpha )}}\ \mathrm {for} \ x>0\,\!.}
Eğer
α
{\displaystyle \alpha }
Γ
(
α
)
=
(
α
−
1
)
!
{\displaystyle {\Gamma (\alpha )}=(\alpha -1)!}
Olasılık yoğunluk fonksiyonu her iki şekli de istatistikçiler tarafından yaygın olarak kullanılmaktadır.
Yığmalı dağılım fonksiyonu bir tanzim edilmiş gamma fonksiyonudur ve bir tamamlanmamış gamma fonksiyonu şeklinde şöyle ifade edilir:
F
(
x
;
k
,
θ
)
=
∫
0
x
f
(
u
;
k
,
θ
)
d
u
=
γ
(
k
,
x
/
θ
)
Γ
(
k
)
{\displaystyle F(x;k,\theta )=\int _{0}^{x}f(u;k,\theta )\,du={\frac {\gamma (k,x/\theta )}{\Gamma (k)}}\,\!}
Eğer i = 1, 2, ..., N için rassal değişken X i in dağılımı bir Γ(αi , β) olursa; o halde
∑
i
=
1
N
X
i
∼
Γ
(
∑
i
=
1
N
α
i
,
β
)
{\displaystyle \sum _{i=1}^{N}X_{i}\sim \Gamma \left(\sum _{i=1}^{N}\alpha _{i},\beta \right)\,\!}
Ancak bütün Γ(αi , β) istatistiksel bağımsız olması gerekir.
Gamma dağılımı sonsuz bölünebilirlik özelliği gösterir.
Herhangi bir t için tX bir Γ(k , t θ) dağılımı gösterir; bu ifade θ nın bir ölçek parametresi olduğunu gösterir.
Gamma dağılımı iki-parametreli üstel ailesinin bir üyesidir ve doğal parametreler değerleri
k
−
1
{\displaystyle k-1}
−
1
/
θ
{\displaystyle -1/\theta }
doğal istatistikleri
X
{\displaystyle X}
ln
(
X
)
{\displaystyle \ln(X)}
Enformasyon entropisi şöyle verilir:
−
1
θ
k
Γ
(
k
)
∫
0
∞
x
k
−
1
e
x
/
θ
[
(
k
−
1
)
ln
x
−
x
/
θ
−
k
ln
θ
−
ln
Γ
(
k
)
]
d
x
{\displaystyle {\frac {-1}{\theta ^{k}\Gamma (k)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{k-1}}{e^{x/\theta }}}\left[(k-1)\ln x-x/\theta -k\ln \theta -\ln \Gamma (k)\right]\,dx\!}
=
−
[
(
k
−
1
)
(
ln
θ
+
ψ
(
k
)
)
−
k
−
k
ln
θ
−
ln
Γ
(
k
)
]
{\displaystyle =-\left[(k-1)(\ln \theta +\psi (k))-k-k\ln \theta -\ln \Gamma (k)\right]\!}
=
k
+
ln
θ
+
ln
Γ
(
k
)
+
(
1
−
k
)
ψ
(
k
)
{\displaystyle =k+\ln \theta +\ln \Gamma (k)+(1-k)\psi (k)\!}
burada ψ(k ) bir digama fonksiyonu olur.
'Gerçek' dağılım olan Γ(α0 , β0 ) ile yaklaşık fonksiyon olan Γ(α, β) arasındaki yönlendirilmiş Kullback-Leibler ayrılması şu fonksiyonla verilir:
D
K
L
(
α
,
β
|
|
α
0
,
β
0
)
=
log
(
Γ
(
α
0
)
β
0
α
0
Γ
(
α
)
β
α
0
)
+
(
α
−
α
0
)
ψ
(
α
)
+
α
β
−
β
0
β
0
{\displaystyle D_{\mathrm {KL} }(\alpha ,\beta ||\alpha _{0},\beta _{0})=\log \left({\frac {\Gamma ({\alpha _{0}})\beta _{0}^{\alpha _{0}}}{\Gamma (\alpha )\beta ^{\alpha _{0}}}}\right)+(\alpha -{\alpha _{0}})\psi (\alpha )+\alpha {\frac {\beta -\beta _{0}}{\beta _{0}}}}
Gamma dağılımının Laplace dönüşümü şudur:
F
(
s
)
=
β
α
(
s
+
β
)
α
.
{\displaystyle F(s)={\frac {\beta ^{\alpha }}{(s+\beta )^{\alpha }}}.}
Gama Olasılık Dağılımının 3B Gösterimi. Her Katman, 1,2,3,4,5 ve 6'ya eşit olan θ {\displaystyle \theta } 'nın farklı bir değeri içindir. Birbirlerinden bağımsız ve aynı dağılım gösteren N sayıda gözlem,,
(
x
1
,
…
,
x
N
)
{\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{N})}
L
(
θ
)
=
∏
i
=
1
N
f
(
x
i
;
k
,
θ
)
{\displaystyle L(\theta )=\prod _{i=1}^{N}f(x_{i};k,\theta )\,\!}
Bundan bir log-olabilirlilik fonksiyonu türetilebiliriz:
ℓ
(
θ
)
=
(
k
−
1
)
∑
i
=
1
N
ln
(
x
i
)
−
∑
x
i
/
θ
−
N
k
ln
(
θ
)
−
N
ln
Γ
(
k
)
.
{\displaystyle \ell (\theta )=(k-1)\sum _{i=1}^{N}\ln {(x_{i})}-\sum x_{i}/\theta -Nk\ln {(\theta )}-N\ln {\Gamma (k)}.}
Bunun
θ
{\displaystyle \theta }
θ
^
=
1
k
N
∑
i
=
1
N
x
i
.
{\displaystyle {\hat {\theta }}={\frac {1}{kN}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}.\,\!}
Bunu tekrara log-degisebilirlilik fonksiyonuna koyarsak, elde edilen ifade su olur:
ℓ
=
(
k
−
1
)
∑
i
=
1
N
ln
(
x
i
)
−
N
k
−
N
k
ln
(
∑
x
i
k
N
)
−
N
ln
(
Γ
(
k
)
)
.
{\displaystyle \ell =(k-1)\sum _{i=1}^{N}\ln {(x_{i})}-Nk-Nk\ln {\left({\frac {\sum x_{i}}{kN}}\right)}-N\ln {(\Gamma (k))}.\,\!}
Bunu k' ye gore maksimumunu bulmak için birinci türevini alırız ve bunu sıfıra eşitleriz. Sonuç şudur:
ln
(
k
)
−
ψ
(
k
)
=
ln
(
1
N
∑
i
=
1
N
x
i
)
−
1
N
∑
i
=
1
N
ln
(
x
i
)
{\displaystyle \ln {(k)}-\psi (k)=\ln {\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}\right)}-{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\ln {(x_{i})}\,\!}
Burada
ψ
(
k
)
=
Γ
′
(
k
)
Γ
(
k
)
{\displaystyle \psi (k)={\frac {\Gamma '(k)}{\Gamma (k)}}\!}
olup bir digamam fonksiyonudur.
k için kapali-sekilli bir çözüm bulunmamaktadır. Bu fonksiyon numerik olarak, hesaplamaya uygun davranış gösterir ve bunun için bir numerik çözüm istenirse, örneğin numerik Newton Yöntemi, sonuçlar yeterli dakik olur. Bu numerik çözümler için ilk değer ya "momentler metodu" kullanılarak bulunur ya da su yaklaşım kullanılabilir:
ln
(
k
)
−
ψ
(
k
)
≈
1
k
(
1
2
+
1
12
k
+
2
)
.
{\displaystyle \ln(k)-\psi (k)\approx {\frac {1}{k}}\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{12k+2}}\right).\,\!}
Eğer şu ifadeyi kullanırsak
s
=
ln
(
1
N
∑
i
=
1
N
x
i
)
−
1
N
∑
i
=
1
N
ln
(
x
i
)
,
{\displaystyle s=\ln {\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}\right)}-{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\ln {(x_{i})},\,\!}
k yaklaşık şu değerdedir:
k
≈
3
−
s
+
(
s
−
3
)
2
+
24
s
12
s
{\displaystyle k\approx {\frac {3-s+{\sqrt {(s-3)^{2}+24s}}}{12s}}}
Bu genellikle gerçek değerden +/- %1,5 hatalı olabileceği bulunmuştur. Bu ilk tahminin Newton-Raphson yöntemi için iyileştirilmesi Choi ve Wette (1969) şöyle verilmiştir:
k
←
k
−
ln
k
−
ψ
(
k
)
−
s
1
/
k
−
ψ
′
(
k
)
{\displaystyle k\leftarrow k-{\frac {\ln k-\psi \left(k\right)-s}{1/k-\psi '\left(k\right)}}}
burada
ψ
′
(
⋅
)
{\displaystyle \psi '\left(\cdot \right)}
Digamma ve trigamma fonksiyonlarını çok dakiklikle hesaplamak güç olabilir. Fakat, su verilen yaklaşım formülleri kullanarak birkaç önemli ondalikli sayıya kadar iyi yaklaşım sayıları bulmak imkânı vardır:
ψ
(
k
)
=
{
ln
(
k
)
−
(
1
+
(
1
−
(
1
/
10
−
1
/
(
21
k
2
)
)
/
k
2
)
/
(
6
k
)
)
/
(
2
k
)
,
k
≥
8
ψ
(
k
+
1
)
−
1
/
k
,
k
<
8
{\displaystyle \psi \left(k\right)={\begin{cases}\ln(k)-(1+(1-(1/10-1/(21k^{2}))/k^{2})/(6k))/(2k),\quad k\geq 8\\\psi \left(k+1\right)-1/k,\quad k<8\end{cases}}}
ve
ψ
′
(
k
)
=
{
(
1
+
(
1
+
(
1
−
(
1
/
5
−
1
/
(
7
k
2
)
)
/
k
2
)
/
(
3
k
)
)
/
(
2
k
)
)
/
k
,
k
≥
8
,
ψ
′
(
k
+
1
)
+
1
/
k
2
,
k
<
8.
{\displaystyle \psi '\left(k\right)={\begin{cases}(1+(1+(1-(1/5-1/(7k^{2}))/k^{2})/(3k))/(2k))/k,\quad k\geq 8,\\\psi '\left(k+1\right)+1/k^{2},\quad k<8.\end{cases}}}
Ayrıntılar için bakiniz Choi ve Wette (1969).
Bayes tipi minimum ortalama-kareli hata
değiştir
Bilinen değerde k ve bilinmeyen değerde '
θ
{\displaystyle \theta }
θ
{\displaystyle \theta }
P
(
θ
|
k
,
x
1
,
.
.
.
,
x
N
)
∝
1
/
θ
∏
i
=
1
N
f
(
x
i
;
k
,
θ
)
.
{\displaystyle P(\theta |k,x_{1},...,x_{N})\propto 1/\theta \prod _{i=1}^{N}f(x_{i};k,\theta ).\,\!}
Su ifade verilsin
y
≡
∑
i
=
1
N
x
i
,
P
(
θ
|
k
,
x
1
,
…
,
x
N
)
=
C
(
x
i
)
θ
−
N
k
−
1
e
−
y
/
θ
.
{\displaystyle y\equiv \sum _{i=1}^{N}x_{i},\qquad P(\theta |k,x_{1},\dots ,x_{N})=C(x_{i})\theta ^{-Nk-1}e^{-y/\theta }.\!}
Bunun θ entegrasyonu değişkenlerin değiştirilmesi yöntemi kullanılarak mümkün olur. Bunun sonucunda 1/θ ifadesinin
α
=
N
k
,
β
=
y
{\displaystyle \scriptstyle \alpha =Nk,\ \ \beta =y}
parametreleri olan bir gamma dağılımı gösterdiği ortaya çıkartılır.
∫
0
∞
θ
−
N
k
−
1
+
m
e
−
y
/
θ
d
θ
=
∫
0
∞
x
N
k
−
1
−
m
e
−
x
y
d
x
=
y
−
(
N
k
−
m
)
Γ
(
N
k
−
m
)
.
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\theta ^{-Nk-1+m}e^{-y/\theta }\,d\theta =\int _{0}^{\infty }x^{Nk-1-m}e^{-xy}\,dx=y^{-(Nk-m)}\Gamma (Nk-m).\!}
Momentler (m ile m = 0) orantısı alınarak hesaplanabilir:
E
(
x
m
)
=
Γ
(
N
k
−
m
)
Γ
(
N
k
)
y
m
,
{\displaystyle E(x^{m})={\frac {\Gamma (Nk-m)}{\Gamma (Nk)}}y^{m},\!}
Buna göre theta'nin sonsal dağılımının ortalama +/- standart sapma kestiriminin şöyle olur:
y
N
k
−
1
{\displaystyle {\frac {y}{Nk-1}}}
y
2
(
N
k
−
1
)
2
(
N
k
−
2
)
.
{\displaystyle {\frac {y^{2}}{(Nk-1)^{2}(Nk-2)}}.}
değiştir
X
∼
S
k
e
w
L
o
g
i
s
t
i
c
(
θ
)
{\displaystyle X\sim \mathrm {SkewLogistic} (\theta )\,}
l
o
g
(
1
+
e
−
X
)
∼
Γ
(
1
,
θ
)
{\displaystyle \mathrm {log} (1+e^{-X})\sim \Gamma (1,\theta )\,}
-->
Eğer X bir Γ(k , θ) dağılımı gösterirse 1/X k ve θ−1 parametreleri olan bir ters-gamma dagilimi gösterir.
R. V. Hogg and A. T. Craig. Introduction to Mathematical Statistics , 4th ed. New York: Macmillan, 1978. (Bak Section 3.3.)
Eric W. Weisstein , Gamma distribution MathWorld )23 Şubat 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde [https://web.archive.org/web/20080223135214/http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda366b.htm arşivlendi.] Engineering Statistics El Kilavuzu.S. C. Choi and R. Wette. (1969) Maximum Likelihood Estimation of the Parameters of the Gamma Distribution and Their Bias , Technometrics , 11 (4) 683-69 
