Теорема Лебега про мажоровану збіжність: відмінності між версіями
[перевірена версія] | [очікує на перевірку] |
→Формулювання: Збіжність за мірою Мітки: Редагування з мобільного пристрою Редагування через мобільну версію |
м Cat-a-lot: Moving from Category:Математичні теореми to Category:Теореми в математичному аналізі за допомогою Cat-a-lot |
||
(Не показано 2 проміжні версії 2 користувачів) | |||
Рядок 53: | Рядок 53: | ||
== Зауваження == |
== Зауваження == |
||
*Умова мажорованості послідовності <math>\{f_n\}</math> інтегрованою функцією <math>g</math> не може бути опущена, як показує наступний контрприклад. Нехай <math>(X,\;\mathcal{F},\;\mu)=([0,\;1],\;\mathcal{B},\;m)</math>, де <math>\mathcal{B}</math> - [[Борелівська сигма-алгебра|борелівська <math>\sigma</math>-алгебра]] на <math>[0,\;1]</math>, а <math>m</math> - [[міра Лебега]] на тому ж просторі. Визначимо |
*Умова мажорованості послідовності <math>\{f_n\}</math> інтегрованою функцією <math>g</math> не може бути опущена, як показує наступний [[контрприклад]]. Нехай <math>(X,\;\mathcal{F},\;\mu)=([0,\;1],\;\mathcal{B},\;m)</math>, де <math>\mathcal{B}</math> - [[Борелівська сигма-алгебра|борелівська <math>\sigma</math>-алгебра]] на <math>[0,\;1]</math>, а <math>m</math> - [[міра Лебега]] на тому ж просторі. Визначимо |
||
: <math>f_n(x)=\begin{cases} |
: <math>f_n(x)=\begin{cases} |
||
n, & x\in\left[0,\;\dfrac{1}{n}\right); \\[10pt] |
n, & x\in\left[0,\;\dfrac{1}{n}\right); \\[10pt] |
||
Рядок 59: | Рядок 59: | ||
:Тоді послідовність <math>\{f_n\}</math> не може бути мажорована інтегрованою функцією, і |
:Тоді послідовність <math>\{f_n\}</math> не може бути мажорована інтегрованою функцією, і |
||
: <math>\int\limits_0^1\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)\,m(dx)=0\neq 1=\lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_0^1 f_n(x)\,m(dx).</math> |
: <math>\int\limits_0^1\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)\,m(dx)=0\neq 1=\lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_0^1 f_n(x)\,m(dx).</math> |
||
*В твердженні теореми достатньо вимагати збіжності майже всюди і виконання нерівностей <math>|f_n(x)|\leqslant g(x)</math> майже всюди. |
*В твердженні теореми достатньо вимагати [[Збіжність майже всюди|збіжності майже всюди]] і виконання нерівностей <math>|f_n(x)|\leqslant g(x)</math> майже всюди. |
||
:Справді якщо позначити <math>N_{k} = \{ x : |f_{k}(x)|\geq g(x), \quad n \in \N \} </math> і <math>N_{0}</math> — множина на якій послідовність <math>f_{k}</math> не збігається до ''f'', то <math>\mu\left( N_{k}\right) = 0 </math> для всіх <math>k\;</math>. Позначивши <math>N = \bigcup_{k=0}^{\infty} N_{k}</math> маємо <math>\mu\left( N \right) = 0 </math> і перевизначивши <math>f_k = 0, f = 0 </math> на <math>N</math> маємо, що <math>f_k , f </math> задовольняють всі умови теореми і їх інтеграли не змінюються оскільки перевизначення відбулося на множині міри нуль. |
:Справді якщо позначити <math>N_{k} = \{ x : |f_{k}(x)|\geq g(x), \quad n \in \N \} </math> і <math>N_{0}</math> — множина на якій послідовність <math>f_{k}</math> не збігається до ''f'', то <math>\mu\left( N_{k}\right) = 0 </math> для всіх <math>k\;</math>. Позначивши <math>N = \bigcup_{k=0}^{\infty} N_{k}</math> маємо <math>\mu\left( N \right) = 0 </math> і перевизначивши <math>f_k = 0, f = 0 </math> на <math>N</math> маємо, що <math>f_k , f </math> задовольняють всі умови теореми і їх інтеграли не змінюються оскільки перевизначення відбулося на множині міри нуль. |
||
Рядок 78: | Рядок 78: | ||
[[Категорія:Теорія міри]] |
[[Категорія:Теорія міри]] |
||
[[Категорія:Теореми|Лебега про мажоровану збіжність]] |
[[Категорія:Теореми в математичному аналізі|Лебега про мажоровану збіжність]] |
Поточна версія на 08:26, 2 квітня 2023
Теоре́ма Лебе́га про мажоро́вану збі́жність — теорема у функціональному аналізі, теорії ймовірностей і суміжних дисциплінах, що визначає достатні умови рівності границі інтегралів Лебега від збіжної послідовності функцій і інтеграла Лебега від граничної функції цієї послідовності. Твердження не має аналогу для інтеграла Рімана і є однією із значних теоретичних переваг інтеграла Лебега.
Нехай — вимірні функції на просторі з мірою , що приймають значення в чи і задовольняють умови :
- Послідовність функцій збігається за мірою до функції на всій множині .
- Існує функція така що :
Тоді і
при чому виконується :
Доведемо, що :
оскільки є границею вимірних функцій, вона є вимірною. Також оскільки для усіх виконується , то здійснивши граничний перехід одержуємо, звідки .
Використавши і застосувавши лему Фату,
Оскільки то,
звідки
скориставшись цією властивістю можна завершити доведення :
- Умова мажорованості послідовності інтегрованою функцією не може бути опущена, як показує наступний контрприклад. Нехай , де - борелівська -алгебра на , а - міра Лебега на тому ж просторі. Визначимо
- Тоді послідовність не може бути мажорована інтегрованою функцією, і
- В твердженні теореми достатньо вимагати збіжності майже всюди і виконання нерівностей майже всюди.
- Справді якщо позначити і — множина на якій послідовність не збігається до f, то для всіх . Позначивши маємо і перевизначивши на маємо, що задовольняють всі умови теореми і їх інтеграли не змінюються оскільки перевизначення відбулося на множині міри нуль.
Оскільки математичне сподівання випадкової величини визначається як її інтеграл Лебега по простору елементарних подій , вищенаведена теорема переноситься і в теорію ймовірностей. Нехай задана послідовність випадкових величин, що сходиться майже напевно: майже напевно. Нехай додатково існує інтегровна випадкова величина , така що майже напевно. Тоді випадкові величини інтегровні і
- Дороговцев А.Я. Элементы общей теории меры и интеграла Київ, 1989
- Capinski, Marek, Kopp, Peter E. Measure, Integral and Probability. Springer Verlag 2004 ISBN 9781852337810
- Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)