Теорема Фалеса про пропорційні відрізки: відмінності між версіями
[перевірена версія] | [очікує на перевірку] |
м Відкинуто редагування 5.248.16.212 (обговорення) до зробленого Vlasenko D Мітка: Відкіт |
м Вибачаюся, скасовував посилання на Фалес, але відкотив корисні правки. Виправив. |
||
(Не показана 31 проміжна версія 11 користувачів) | |||
Рядок 1: | Рядок 1: | ||
[[Файл:Thales-sov.jpg|thumb|right]] |
[[Файл:Thales-sov.jpg|thumb|right]] |
||
'''Теорема [[Фалес]]а''' — одна із [[Теорема|теорем]] [[Планіметрія|планіметрії]]. У математичній літературі країн колишнього Радянського Союзу відома як '''теорема Фалеса та узагальнена теорема Фалеса (теорема про пропорційні відрізки)'''. |
|||
'''Теорема [[Фалес]]а про пропорційні відрізки''' — одна із [[Теорема|теорем]] [[Планіметрія|планіметрії]]. |
|||
У математичній літературі країн колишнього Радянського Союзу відома як '''теорема Фалеса'''. |
|||
У європейській літературі теоремою Фалеса найчастіше називають [[Теорема Фалеса про три точки на колі|іншу теорему]]. |
У європейській літературі теоремою Фалеса найчастіше називають [[Теорема Фалеса про три точки на колі|іншу теорему]]. |
||
== Історія == |
|||
Теорема Фалеса належить давньогрецькому математику і філософу Фалесу Мілетському. За легендою, Фалес Мілетський знаходив висоту [[Піраміда Хеопса|піраміди Хеопса]], вимірюючи [[Довжина|довжину]] її тіні на землі та довжину тіні палиці, вимірюваної [[Висота|висоти]]. Найперше письмове доведення цієї теореми подано в книзі «[[Начала Евкліда|Начала]]» (книга VI). |
|||
== Формулювання == |
== Формулювання == |
||
Теорема Фалеса: якщо паралельні прямі, що перетинають дві задані прямі ''а'' і ''b'', відтинають на одній прямій рівні відрізки, то вони відтинають рівні відрізки й на іншій прямій. |
'''Теорема Фалеса''': якщо [[паралельні прямі]], що перетинають дві задані прямі ''а'' і ''b'', відтинають на одній прямій рівні відрізки, то вони відтинають рівні відрізки й на іншій прямій. |
||
: <math>A_1A_2 = A_2A_3,</math> |
: <math>A_1A_2 = A_2A_3,</math> то <math>B_1B_2 = B_2B_3.</math> |
||
: <math>B_1B_2 = B_2B_3.</math> |
|||
Узагальнена теорема Фалеса: паралельні прямі, що перетинають дві задані прямі ''а'' і ''b'', відтинають на них пропорційні відрізки. |
'''Узагальнена теорема Фалеса''': паралельні прямі, що перетинають дві задані прямі ''а'' і ''b'', відтинають на них пропорційні відрізки. |
||
: <math> |
: <math> |
||
\frac{A_1A_2}{B_1B_2}=\frac{A_2A_3}{B_2B_3}=\frac{A_1A_3}{B_1B_3}. |
\frac{A_1A_2}{B_1B_2}=\frac{A_2A_3}{B_2B_3}=\frac{A_1A_3}{B_1B_3}. |
||
</math> |
</math> |
||
== Доведення теореми Фалеса == |
|||
[[Файл:Фалеса 2.png|міні|Малюнок 1]] |
|||
Нехай дано паралельні прямі <math>A_1B_1\parallel</math> <math>A_2B_2\parallel</math> <math>A_3B_3</math> , які перетинають прямі <math>a</math> і <math>b</math>, причому <math>A_1A_2=A_2A_3</math> (дивитись праворуч Малюнок 1). |
|||
Через точки <math>A_1</math> і <math>A_2</math> проведено прямі <math>A_1M</math> і <math>A_2K</math>, паралельні прямій <math>b</math>. |
|||
<math>\vartriangle A_1A_2M=\vartriangle A_2A_3K</math> за другою ознакою рівності трикутників, оскільки: |
|||
1)<math>A_1A_2=A_2A_3</math> — за умовою, |
|||
2)<math>\angle A_1A_2M=\angle A_2A_3K</math> — відповідні кути при паралельних прямих <math>MA_2</math> і <math>KA_3</math>, |
|||
3)<math>\angle A_2A_1M=\angle A_3A_2K</math> — відповідні кути при паралельних прямих <math>A_1M</math> і <math>A_2K</math>. |
|||
З рівності трикутників <math>\vartriangle A_1A_2M=\vartriangle A_2A_3K</math> <math>\Rightarrow</math><math>A_1M</math>=<math>A_2K</math>, як відповідні сторони рівних трикутників. |
|||
[[Файл:Фалеса 3.png|міні|Малюнок 2]] |
|||
З побудови (Малюнок 1) [[чотирикутник]] <math> A_1B_1B_2M</math> — [[паралелограм]], тому <math>A_1M=B_1B_2</math>. |
|||
З побудови (Малюнок 1) чотирикутник <math>A_2B_2B_3K</math> — паралелограм, тому <math>A_2K=B_2B_3</math>. |
|||
Звідси <math>A_1M=A_2K</math> і <math>B_1B_2=B_2B_3</math>. |
|||
== Доведення узагальненої теореми Фалеса == |
|||
Нехай прямі <math>a</math> і <math>b</math> перетинають паралельні прямі у точках <math>A_1,A_2,A_3</math> і <math>B_1,B_2,B_3</math> відповідно (дивитись праворуч Малюнок 2). |
|||
Доведемо, що <math>\frac{A_1A_2}{A_1A_3}=\frac{B_1B_2}{B_1B_3}</math> для випадку, коли існує відрізок такої довжини <math>\delta</math>, який можна відкласти ціле число разів на відрізку <math>A_1A_3</math> і <math>A_1A_2</math>. Нехай <math>A_1A_3=n\delta</math>, <math>A_1A_2=m\delta</math> і <math>n>m</math>. Поділимо відрізок <math>A_1A_3</math> на <math>n</math> рівних частин (довжиною <math>\delta</math>), точка <math>A_2</math>- одна з точок поділу. Через точки поділу проведемо прямі, паралельні <math>A_3B_3</math>. За теоремою Фалеса ці прямі ділять відрізок <math>B_1B_3</math> на рівні відрізки деякої довжини <math>\delta_1</math>. Отримаємо:<math>B_1B_3=n\delta_1</math>, <math>B_1B_2=m\delta_1</math>, <math>\frac{A_1A_2}{A_1A_3}=\frac{m\delta}{n\delta}=\frac{m}{n}</math> і <math>\frac{B_1B_2}{B_1B_3}=\frac{m\delta_1}{n\delta_1}=\frac{m}{n}</math> <math>\Longrightarrow</math> <math>\frac{A_1A_2}{A_1A_3}=\frac{B_1B_2}{B_1B_3}</math>. |
|||
== Література == |
== Література == |
||
Рядок 37: | Рядок 64: | ||
* {{УСЕ-4|[http://slovopedia.org.ua/29/53412/22693.html Фалеса теорема]}} |
* {{УСЕ-4|[http://slovopedia.org.ua/29/53412/22693.html Фалеса теорема]}} |
||
{{math-stub}} |
{{math-stub}} |
||
[[Категорія:Теореми|Фалеса про пропорційні відрізки]] |
[[Категорія:Теореми евклідової геометрії|Фалеса про пропорційні відрізки]] |
||
[[Категорія:Планіметрія]] |
[[Категорія:Планіметрія]] |
Поточна версія на 14:19, 14 грудня 2023
Теорема Фалеса — одна із теорем планіметрії. У математичній літературі країн колишнього Радянського Союзу відома як теорема Фалеса та узагальнена теорема Фалеса (теорема про пропорційні відрізки).
У європейській літературі теоремою Фалеса найчастіше називають іншу теорему.
Теорема Фалеса належить давньогрецькому математику і філософу Фалесу Мілетському. За легендою, Фалес Мілетський знаходив висоту піраміди Хеопса, вимірюючи довжину її тіні на землі та довжину тіні палиці, вимірюваної висоти. Найперше письмове доведення цієї теореми подано в книзі «Начала» (книга VI).
Теорема Фалеса: якщо паралельні прямі, що перетинають дві задані прямі а і b, відтинають на одній прямій рівні відрізки, то вони відтинають рівні відрізки й на іншій прямій.
- то
Узагальнена теорема Фалеса: паралельні прямі, що перетинають дві задані прямі а і b, відтинають на них пропорційні відрізки.
Нехай дано паралельні прямі , які перетинають прямі і , причому (дивитись праворуч Малюнок 1).
Через точки і проведено прямі і , паралельні прямій .
за другою ознакою рівності трикутників, оскільки:
1) — за умовою,
2) — відповідні кути при паралельних прямих і ,
3) — відповідні кути при паралельних прямих і .
З рівності трикутників =, як відповідні сторони рівних трикутників.
З побудови (Малюнок 1) чотирикутник — паралелограм, тому .
З побудови (Малюнок 1) чотирикутник — паралелограм, тому .
Звідси і .
Нехай прямі і перетинають паралельні прямі у точках і відповідно (дивитись праворуч Малюнок 2).
Доведемо, що для випадку, коли існує відрізок такої довжини , який можна відкласти ціле число разів на відрізку і . Нехай , і . Поділимо відрізок на рівних частин (довжиною ), точка - одна з точок поділу. Через точки поділу проведемо прямі, паралельні . За теоремою Фалеса ці прямі ділять відрізок на рівні відрізки деякої довжини . Отримаємо:, , і .
- Погорєлов О. В. Геометрія: Планіметрія: Підруч. для 7—9 кл. загальноосвіт. навч. закл. — 7-ме вид. — К. : Школяр, 2004. — С. 85—87.
- Фалеса теорема // Універсальний словник-енциклопедія. — 4-те вид. — К. : Тека, 2006.
Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її. |