設G為緊緻單連通李羣,設g為其李代數。設γ為黎曼球面
(複平面之一點緊緻化)上一G-值場
Wess-Zumino-Witten 模型是γ所定義之非線性 sigma 模型,其作用為
;
其中首項為量子場論中常見之動量項,重覆指標相加,度量為歐幾里得度量,
為g上之Killing 二次式,而
為 偏導數。
SWZ 項人稱 Wess-Zumino 項,其定義為
其中 [,] 為交換子,
為完全反對稱張量,i=1,2,3,
為積分座標,取值於單位球
。
在此積分中,場γ 被延拓至單位球之內部——此所以可能,是由於任何緊緻單連通李羣之第二同倫羣
俱為零(γ已於球面上定義)。
注意:若
為李代數g之基向量,則
為g 之 結構常數。結構常數是反對稱的,因而定義了一G 上一个三次微分形式。故上述積分實為球
上之三次調和式的拉回。記此三次式為 c、其拉回為
,則我们有
自此我们可用拓撲方法分析 WZ-項。
γ 有多種延拓至球
之內部;若要求物理現象不依賴於特定之延拓,則常數k需符合以下「量子條件」:
- 取γ 到球內部之任何兩種延拓。是為平三維區域至李羣G之兩支影射。在其邊界
黏起此兩個三維球,則成一三維球面
;其中每一三維半球面來自一
。 γ 之兩種延拓則成為一影射:
。然而,任何緊緻單連通李羣G之同倫羣
。故
其中 γ 與 γ' 表示兩種延拓, n為一整數——黏合後影射之卷绕数。兩種延拓會帶來相同的物理系統,若
是故,耦合常數k必須為整數。當G是半單李羣,或不連通緊緻羣, 則由每一連通部所給之一整數構成此階(level)。
此拓撲障礙亦可以相應之仿射李代數之表示論體現。 當每一階為一整數,則存在該仿射李代數之酉最高權表示,而其最高權為 dominant integral。此等表示是可積表示[1]。
我们亦常遇相應於一非緊緻單李羣-例如 SL(2,R)-之 WZW 模型。胡安·马尔达西那與Hirosi Ooguri以此描述三維反德西特空間上之弦理論。此時 π3(SL(2,R))=0,故不存在拓撲障礙,而其階亦不必為整數。
上述各 WZW 模型俱定義於黎曼球面上。我们亦可定義一般緊緻黎曼曲面上之場γ。
- J. Wess, B. Zumino, "Consequences of anomalous Ward identities", Physics Letters B, 37 (1971) pp. 95-97.
- E. Witten, "Global aspects of current algebra", Nuclear Physics B 223 (1983) pp. 422-432.
- V. Kac, Infinite dimensional Lie algebras