جداء نقطي: الفرق بين النسختين

الجداء القياسي بين متجهتين تكونان زاوية حادة $\theta$

الضرب النقطي أو الجداء القياسي (بالإنجليزية: Dot product)‏ ويسمى أحيانا الضرب القياسي أو الجداء السُلمي، هو عمليةٌ جبرية بين متجهين ونتيجتها كمية قياسية.

تعريف

تعريف جبري

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}$

يُعرف الجداء القياسي في المستوى للمتجهتين $\mathbf {A}$ و $\mathbf {B}$ كالآتي:

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z}$

حيث (A_x, A_y, A_z) هي مركبات المتجه A و (B_x, B_y, B_z) هي مركبات المتجه B.

يمكن استخدام الضرب القياسي هذا لمعرفة الزاوية الواقعة بين متجهين.

تعريف هندسي

في الفضاء الإقليدي، صيغة أخرى لحاصل الضرب القياسي

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =AB\cos \theta$

حيث A هو طول المتجه A و B هو طول المتجه B و θ هي الزاوية المحصورة بينهما.

خصائص

1. تبديلي : $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} .$

   تنبثق هذه الخاصية من تعريف الجداء القياسي (θ هي الزاوية المحصورة بين a و b)

   $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\|\mathbf {a} \|\|\mathbf {b} \|\cos \theta =\|\mathbf {b} \|\|\mathbf {a} \|\cos \theta =\mathbf {b} \cdot \mathbf {a}$

2. توزيعي على جمع المتجهات : (a.b + a.c = a.(b+c
3. تعامدي : متجهتان a و b مختلفتان عن الصفر يكونان متعامدتين إذا وفقط إذا توفر a.b = 0.
4. لا إلغاء :

تطبيق لقانون الجيب التمام

مثلث ضلعاه a و b تفصلهما زاوية θ.

المقالة الرئيسة: قانون جيب التمام

${\begin{aligned}\mathbf {c} \cdot \mathbf {c} &=(\mathbf {a} -\mathbf {b} )\cdot (\mathbf {a} -\mathbf {b} )\\&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} -\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} -\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} +\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} \\&=a^{2}-\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} -\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +b^{2}\\&=a^{2}-2\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +b^{2}\\c^{2}&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \theta \\\end{aligned}}$

وهذا هو قانون الجيب التمام. وتعبر أيضا عن خاصية الكاشي

في الفيزياء

الجداء القياسي يعبر عن كميات عددية لا علاقة لها برسم شعاع مثل (الجهد،العزم ....)

تعميمات

الجداء الداخلي

المقالة الرئيسة: فضاء الجداء الداخلي

انظر إلى فضاء متجهي معياري.

أنظر أيضا

• ضرب متجهي,
• ضرب المصفوفات
• جداء ثلاثي
• متراجحة كوشي-شفارز.