Правім Гама-размеркаванне

{{Размеркаванне імавернасцей
| name       = Гама-размеркаванне
| type       = density
| pdf_image  = [[Image:Gamma distribution pdf.svg|325px|Шчыльнасць імавернасці гама-размеркавання]]
| cdf_image  = [[Image:Gamma distribution cdf.svg|325px|Функцыя размеркавання гама-размеркавання]]
| parameters =
* ''k'' > 0 форма
* ''θ'' > 0 маштаб
| support    = <math>x \in (0, \infty)</math>
| pdf        = <math>f(x)=\frac{1}{\Gamma(k) \theta^k} x^{k - 1} e^{-x/\theta}</math>
| cdf        = <math>F(x)=\frac{1}{\Gamma(k)} \gamma\left(k, \frac{x}{\theta}\right)</math>
| mean       = <math>k \theta </math>
| median     = Няма аналітычнай формы
| mode       = <math>(k - 1)\theta</math> для <math>k \geq 1,</math><br/><math>0</math> для <math>k < 1</math>
| variance   = <math>k \theta^2</math>
| skewness   = <math>\frac{2}{\sqrt{k}}</math>
| kurtosis   = <math>\frac{6}{k}</math>
| entropy    = <math>\begin{align}
                      k &+ \ln\theta + \ln\Gamma(k)\\
                        &+ (1 - k)\psi(k)
                    \end{align}</math>
| mgf        = <math>(1 - \theta t)^{-k}</math> для <math>t < \frac{1}{\theta}</math>
| char       = <math>(1 - \theta it)^{-k}</math>
| parameters2 =
* ''α'' > 0 форма
* ''β'' > 0 частата
| support2    = <math>x \in (0, \infty)</math>
| pdf2        = <math>f(x)=\frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha - 1} e^{-\beta x }</math>
| cdf2        = <math>F(x)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)} \gamma(\alpha, \beta x)</math>
| mean2       = <math>\frac{\alpha}{\beta}</math>
| median2     = Няма аналітычнай формы
| mode2       = <math>\frac{\alpha - 1}{\beta}</math> для <math>\alpha \geq 1,</math><br/><math>0</math> для <math>\alpha < 1</math>
| variance2   = <math>\frac{\alpha}{\beta^2}</math>
| skewness2   = <math>\frac{2}{\sqrt{\alpha}}</math>
| kurtosis2   = <math>\frac{6}{\alpha}</math>
| entropy2    = <math>\begin{align}
                      \alpha &- \ln \beta + \ln\Gamma(\alpha)\\
                             &+ (1 - \alpha)\psi(\alpha)
                    \end{align}</math>
| mgf2        = <math>\left(1 - \frac{t}{\beta}\right)^{-\alpha}</math> для <math>t < \beta</math>
| char2       = <math>\left(1 - \frac{it}{\beta}\right)^{-\alpha}</math>
| moments     = <math> k = \frac{E[X]^2}{V[X]} \quad \quad</math> <math> \theta = \frac{V[X]}{E[X]} \quad \quad</math>
| moments2    = <math> \alpha = \frac{E[X]^2}{V[X]} </math> <math>\beta = \frac{E[X]}{V[X]} </math>
| fisher      = <math>I(k, \theta) = \begin{pmatrix}\psi^{(1)}(k) & \theta^{-1} \\ \theta^{-1} & k \theta^{-2}\end{pmatrix}</math>
| fisher2     = <math>I(\alpha, \beta) = \begin{pmatrix}\psi^{(1)}(\alpha) & -\beta^{-1} \\ -\beta^{-1} & \alpha \beta^{-2}\end{pmatrix}</math>
}}

'''Гама-размеркаванне''' — [[абсалютна непарыўнае размеркаванне імавернасцей]] з двума [[параметр|параметрамі]]. Найчасцей ужываюцца два эквівалентныя спосабы параметрызацыі:
# З {{нп5|Каэфіцыент формы|каэфіцыентам формы|en|Shape parameter}} <math>k</math> і {{нп5|Каэфіцыент маштабу|каэфіцыентам маштабу|en|Scale parameter}} <math>\theta</math>.
# З каэфіцыентам формы <math>\alpha = k</math> і адваротным каэфіцыентам маштабу <math>\beta = 1/\theta,</math> вядомым пад назвай {{нп5|Каэфіцыент частаты|каэфіцыент частаты|en|Rate parameter}}.
У абедзвюх формах абодва параметры — [[Дадатны лік|дадатныя]] [[Рэчаісны лік|рэчаісныя лікі]].

Параметрызацыя з <math>k</math> і <math>\theta</math> часта выкарыстоўваецца ў [[эканаметрыка|эканаметрыцы]] і іншых прыкладных абласцях, дзе з дапамогай гама-размеркавання мадэлююць час чакання<ref>{{cite book |author-link=Robert V. Hogg |first1=R. V. |last1=Hogg |first2=A. T. |last2=Craig |year=1978 |title=Introduction to Mathematical Statistics |url=https://archive.org/details/introductiontoma0000hogg |edition=4th |location=New York |publisher=Macmillan |isbn=0023557109|pages=Remark 3.3.1}}</ref>.

Параметрызацыя праз <math>\alpha</math> і <math>\beta</math> распаўсюджана ў {{нп5|Баесаўская статыстыка|баесаўскай статыстыцы|en|Bayesian statistics}}, дзе гама-размеркаванне грае ролю {{нп5|Спалучанае апрыёрнае размеркаванне|спалучанага апрыёрнага размеркавання|en|Conjugate prior}} для каэфіцыентаў частаты розных размеркаванняў, напрыклад <math>\lambda</math> [[Паказнікавае размеркаванне|паказнікавага]] або [[Размеркаванне Пуасона|пуасонавага размеркавання]]<ref>{{Cite arXiv |eprint=1311.1704 |class=cs.IR |first1=Prem |last1=Gopalan |first2=Jake M. |last2=Hofman |title=Scalable Recommendation with Poisson Factorization |last3=Blei |first3=David M. |year=2013 |author3-link=David Blei}}</ref>, або <math>\beta</math> самога гама-размеркавання. Цесна звязанае з ім {{нп5|Адваротнае гама-размеркаванне|адваротнае гама-размеркаванне|en|Inverse-gamma distribution}} служыць спалучаным апрыёрным размеркаваннем для каэфіцыентаў маштабу, напрыклад для <math>\sigma^2</math> [[Нармальнае размеркаванне|нармальнага размеркавання]].

== Азначэнне ==
Кажуць, што [[выпадковая велічыня]] мае гама-размеркаванне, калі яе [[шчыльнасць імавернасці]] задаецца формулай<ref name=elemienty>''Звяровіч Э. І.'', ''Радына А. Я.'' Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — С. 69. — ISBN 978-985-01-1043-5.</ref>{{rp|87}}
: <math>f(x)= 
  \begin{cases}
    \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha - 1} e^{-\beta x }, & x > 0, \\
    0, & x \leq 0,
  \end{cases}
</math>
дзе <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> — параметры размеркавання, <math>\Gamma(\alpha)</math> — [[гама-функцыя]] <math>\Gamma(\alpha) = \int_0^{\infty}t^{\alpha - 1} e^{-t} dt.</math>

Можна паказаць, што [[інтэграл]] шчыльнасці імавернасці па ўсім <math>\mathbb{R}</math> роўны 1:
: <math>\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} \int_0^{+\infty} x^{\alpha - 1} e^{-\beta x } dx = </math>
: <math>= \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} \int_0^{+\infty} \frac{t^{\alpha - 1}}{\beta^{\alpha - 1}} e^{-t} \frac{dt}{\beta} = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_0^{+\infty} t^{\alpha - 1} e^{-t} dt = 1.</math>

== Асобныя выпадкі ==

=== Паказнікавае размеркаванне ===
[[Паказнікавае размеркаванне]] — асобны выпадак гама-размеркавання, калі каэфіцыент формы роўны 1<ref name=elemienty/>{{rp|88}}. Яго шчыльнасць мае выгляд:
: <math>f(x)= 
  \begin{cases}
    \frac{\beta^1}{\Gamma(1)} x^{1- 1} e^{-\beta x } = \beta e^{-\beta x}, & x > 0, \\
    0, & x \leq 0,
  \end{cases}
</math>

=== Размеркаванне Эрланга ===
Калі каэфіцыент формы гама-размеркавання — [[натуральны лік]], то яно завецца [[Размеркаванне Эрланга|размеркаваннем Эрланга]]<ref name=elemienty/>{{rp|88}}. Шчыльнасць можна перапісаць, замяніўшы гама-функцыю на [[фактарыял]], бо для натуральных лікаў <math>\Gamma(n) = (n - 1)! \ </math>:
: <math>f(x)= 
  \begin{cases}
    \frac{\beta^n}{(n - 1)!} x^{n - 1} e^{-\beta x }, & x > 0, \\
    0, & x \leq 0.
  \end{cases}
</math>

=== Размеркаванне хі-квадрат ===
Калі для гама-размеркавання прыняць каэфіцыент формы <math>\alpha = n/2</math>, дзе <math>n \in \mathbb{N}</math>, а каэфіцыент частаты <math>\beta = 1/2</math>, атрымаем {{нп5|Размеркаванне хі-квадрат|размеркаванне хі-квадрат|en|Chi-squared distribution}} з <math>n</math> {{нп5|Ступені свабоды (статыстыка)|ступенямі свабоды|en|Degrees of freedom (statistics)}} і шчыльнасцю<ref name=elemienty/>{{rp|89}}
: <math>f(x)= 
  \begin{cases}
    \frac{1}{2^{n/2} \Gamma(n/2)} x^{n/2 - 1} e^{-x/2}, & x > 0, \\
    0, & x \leq 0,
  \end{cases}
</math>

{{зноскі}}

{{Размеркаванні імавернасцей}}
{{Бібліяінфармацыя}}

[[Катэгорыя:Размеркаванні імавернасцей]]