Derivada parcial

En matemàtiques, s'anomena derivada parcial d'una funció de diverses variables a la seva derivada respecte a una d'aquestes variables, deixant les altres constants (de manera oposada a la derivada total, en la qual totes les variables poden variar).^[1] Les derivades parcials són útils a càlcul vectorial i geometria diferencial.

La derivada parcial d'una funció f respecte a la variable x és representada per ${\frac {\partial f}{\partial x}}$ o $\partial _{x}f$ o f_x (on $\partial$ és una d arrodonida, coneguda com el 'símbol de la derivada parcial', que coincideix amb la lletra ciríl·lica cursiva д i es pronuncia en català de la mateixa manera que la lletra d.

Exemples

Considerant el volum V d'un con; depèn de l'alçada h del con i del seu radi r, d'acord amb la fórmula:

V={\frac {r^{2}h\pi }{3}}

La derivada parcial de V respecte de r és

{\frac {\partial V}{\partial r}}={\frac {2rh\pi }{3}}

i descriu la velocitat a la qual el volum del con canvia si es varia el seu radi i es manté constant l'alçada. La derivada parcial de V respecte de h és

{\frac {\partial V}{\partial h}}={\frac {r^{2}\pi }{3}}

i representa la velocitat a la qual aquest volum canvia si es varia l'alçada i es deixa el radi constant.

Un altre exemple té a veure amb l'àrea A d'un cercle, encara que només depengui del radi r del cercle, d'acord amb la fórmula:

A=\pi r^{2}

La derivada parcial de A respecte de r és

{\frac {\partial A}{\partial r}}=2\pi r

Les equacions de les quals es desconeix la derivada parcial de certa funció s'anomenen equacions de derivades parcials, i són omnipresents en tota la ciència.

Notació

Pels exemples següents, sigui f una funció de x, y i z.

Derivades parcials de primer ordre:

{\frac {\partial f}{\partial x}}=f_{x}=\partial _{x}f

Derivades parcials de segon ordre:

{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f_{xx}=\partial _{xx}f

Derivades mixtes de segon ordre:

{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}=f_{xy}=f_{yx}=\partial _{xy}f=\partial _{yx}f

Derivades parcials d'ordre superior i derivades mixtes:

{\frac {\partial ^{i+j+k}f}{\partial x^{i}\,\partial y^{j}\,\partial z^{k}}}=f^{(i,j,k)}

Quan es tracta amb funcions de múltiples variables, algunes d'aquestes variables poden estar relacionades entre elles, i pot ser necessari especificar explícitament quines variables es mantenen constants. En camps com la mecànica estadística, les derivades parcials de f respecte de x, deixant y i z constants, s'expressen sovint com a:

\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)_{y,z}

Definició formal i propietats

De la mateixa manera que les derivades ordinàries, les derivades parcials es defineixen com un límit. Sigui U un subconjunt obert de Rⁿ i f : U → R una funció. Es defineix la derivada parcial de f al punt a = (a₁, ..., a_n) ∈ U respecte a la variable i-èsima x_i com a^[2]

{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {a} )=\lim _{h\rightarrow 0}{f(a_{1},\dots ,a_{i-1},a_{i}+h,a_{i+1},\dots ,a_{n})-f(a_{1},\dots ,a_{n}) \over h}

Fins i tot si totes les derivades parcials ∂f/∂x_i(a) existeixen en un punt a, la funció no ha de ser necessàriament contínua en aquest punt. En canvi, si totes les derivades parcials existeixen al voltant d'a i són contínues en a, llavors f és totalment diferenciable en aquest entorn, i la derivada total és contínua. En aquest cas, es pot dir que f és una funció C¹

La derivada parcial ∂f/∂x_i es pot veure com una altra funció definida en U i també pot ser diferenciable parcialment. Si totes les derivades parcials mixtes existeixen i són contínues, anomenem a f una funció C²; en aquest cas, les derivades parcials es poden intercanviar mitjançant el teorema de Clairaut:

{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\,\partial x_{i}}}.

Derivades parcials d'ordre superior

Alhora, la derivada parcial $\partial _{x_{i}}f$ pot veure's com una altra funció definida en U i derivar-se parcialment. Si totes les seves derivades parcials existeixen i són contínues, sigui f una funció C²; en aquest cas, les derivades parcials (anomenades parcials) poden ser intercanviades pel teorema de Clairaut també conegut com a teorema de Schwarz.^[3]

{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\,\partial x_{i}}}.

En $\mathbb {R} ^{2}$ , si es compleix el que s'ha dit, s'assegura que:

{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}=f_{xy}=f_{yx}

Derivada direccional

En matemàtiques, la derivada direccional d'una funció (escalar) diferenciable multivariable al llarg d'un vector donat v en un punt donat x representa intuïtivament la taxa instantània de canvi de la funció, movent-se a través d'x amb una velocitat especificada per v.

La derivada direccional d'una funció escalar f respecte un vector v en un punt (per exemple, posició) x pot ser denotada per qualsevol dels següents: $\nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=f'_{\mathbf {v} }(\mathbf {x} )=D_{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )=Df(\mathbf {x} )(\mathbf {v} )=\partial _{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )=\mathbf {v} \cdot {\nabla f(\mathbf {x} )}=\mathbf {v} \cdot {\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {x} }}.$

Generalitza, per tant, la noció de derivada parcial, en què la taxa de variació es pren al llarg d'una de les corbes de coordenades curvilínies, sent totes les altres coordenades constants. La derivada direccional és un cas especial de la derivada de Gateaux.

Referències

↑ Singh, Ravish R.; Bhatt, Mukul. Engineering Mathematics (en anglès). Tata McGraw-Hill Education, 2010, p. 4.1. ISBN 9780070146150 [Consulta: 26 desembre 2021]. «A partial derivative of a function of several variables is the ordinary derivative w.r.t. [with respect to] one of the variables, when all the remaining variables are kept constant.»
↑ Bergin, James. «7.2 Partial derivatives». A: Mathematics for Economists with Applications (en anglès). Routledge, 2015. ISBN 9781317820154 [Consulta: 26 desembre 2021]. «The partial derivative of f with respect to x_i is denoted $\partial f \over \partial x_{i}$ and defined as: ${\partial f \over \partial x_{i}}=\lim _{\Delta x_{i}\to 0}{f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{i-1},x_{i}+\Delta x_{i},x_{i+1},\ldots ,x_{n})-f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}) \over \Delta x_{i}}.$ »
↑ Chiang, Alpha C. Fundamental Methods of Mathematical Economics, McGraw-Hill, tercera edición, 1984.

Vegeu també

[1] Singh, Ravish R.; Bhatt, Mukul. Engineering Mathematics (en anglès). Tata McGraw-Hill Education, 2010, p. 4.1. ISBN 9780070146150 [Consulta: 26 desembre 2021]. «A partial derivative of a function of several variables is the ordinary derivative w.r.t. [with respect to] one of the variables, when all the remaining variables are kept constant.»

[2] Bergin, James. «7.2 Partial derivatives». A: Mathematics for Economists with Applications (en anglès). Routledge, 2015. ISBN 9781317820154 [Consulta: 26 desembre 2021]. «The partial derivative of f with respect to x_i is denoted $\partial f \over \partial x_{i}$ and defined as: ${\partial f \over \partial x_{i}}=\lim _{\Delta x_{i}\to 0}{f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{i-1},x_{i}+\Delta x_{i},x_{i+1},\ldots ,x_{n})-f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}) \over \Delta x_{i}}.$ »

[3] Chiang, Alpha C. Fundamental Methods of Mathematical Economics, McGraw-Hill, tercera edición, 1984.

[1]

[2]

[3]