Probabilitat condicionada

La probabilitat condicionada és la probabilitat que hi hagi un succés A, sabent que també succeeix un altre succés B. La probabilitat condicional s'escriu P(A|B), i es llegeix «la probabilitat de A donada B».

No cal que existeixi una relació causal o temporal entre A i B. A pot precedir en el temps a B, succeir-lo o poden ser simultanis. A pot causar B, viceversa o poden no tenir relació causal. Les relacions causals o temporals són nocions que no pertanyen a l'àmbit de la probabilitat. Poden desenvolupar un paper o no depenent de la interpretació que es doni als successos.

El condicionament de probabilitats pot aconseguir-se aplicant el teorema de Bayes.

Definició

Donat un espai de probabilitat $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ i dos successos $A,B\in {\mathcal {F}}$ amb $P(B)>0$, la probabilitat condicional de A donada B està definida com:

$P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}.$

$P(A\mid B)$ es pot interpretar com, agafant el mons on B es compleix, la fracció en el que també es compleixi A.

Interpretació

$P(A\mid B)$ es pot interpretar com, agafant els mons en què B es compleix, la fracció en els que també es compleix A. Si el succés B és, per exemple, tenir grip, i el succés A és tenir mal de cap, $P(A\mid B)$ seria la probabilitat de tenir mal de cap quan es té la grip.

Gràficament, si s'interpreta l'espai de la il·lustració com l'espai de tots els mons possibles, A serien els mons en el que es té mal de cap i B, l'espai on es té la grip. La zona verda de la intersecció representaria els mons en què es té la grip i el mal de cap $P(A\cap B)$. En aquest cas $P(A\mid B)$, és a dir, la probabilitat que algú tingui mal de cap sabent que té la grip, seria la proporció de mons amb grip i mal de cap (color verd) de tots els mons amb grip: l'àrea verda dividida per l'àrea de B. Com que l'àrea verda representa $P(A\cap B)$ i l'àrea B representa $P(B)$, formalment s'ha de:

$P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}.$

Propietats

La proporció de zona verda dins de B és la mateixa que la de A en tot l'espai i, de la mateixa forma, la proporció de la zona verda dins de A és la mateixa que la de B en tot l'espai. Són successos independents.

1. $P(A\mid B)+P({\bar {A}}\mid B)=1$
2. $B\subseteq A\to P(A\mid B)=1$
3. $P(A)=P(A\mid B)\cdot P(B)+P(A\mid {\bar {B}})\cdot P({\bar {B}})$

Però NO és cert que $P(A\mid B)+P(A\mid {\bar {B}})=1$

Independència de successos

Dos successos aleatoris $A$ i $B$ són independents si i només si:

$P(A\cap B)\ =\ P(A)P(B).$

O sigui, que si $A$ i $B$ són independents, la seva probabilitat conjunta, $P(A\cap B)$, que també s'escriu $P(A,B)$, pot ser expressada com el producte de les probabilitats individuals. Equivalentment:

$P(A|B)\ =\ P(A)$

$P(B|A)\ =\ P(B).$

En altres paraules, si $A$ i $B$ són independents, la probabilitat condicional de $A$ donada $B$ és simplement la probabilitat de $A$, i viceversa.

Exclusivitat mútua

Els conjunts A i B no intersequen. Són mútuament excloents.

Dos successos A i B són mútuament excloents si i només si $A\cap B=\emptyset$. Llavors, $P(A\cap B)=0$.

A més, si $P(B)>0$ llavors $P(A\mid B)$ és igual a 0.

La fal·làcia de la probabilitat condicional

La fal·làcia de la probabilitat condicional es basa a assumir que P(A|B) és quasi igual a P(B|A). El matemàtic John Allen Paulos analitza en el seu llibre L'home anumèric aquest error molt comú comès per persones que desconeixen la probabilitat.

La veritable relació entre P(A|B) i P(B|A) és la següent:

$P(B\mid A)=P(A\mid B)\cdot {\frac {P(B)}{P(A)}}$ (Teorema de Bayes)

Problemes d'exemple

La paradoxa del fals positiu

La magnitud d'aquest problema és la millor entesa en termes de probabilitats condicionals. Suposem un grup de persones, de les quals l'1% pateix una certa malaltia, i la resta està bé. Escollint un individu a l'atzar:

$P(malalt)=1\%=0.01$ i $P(sa)=99\%=0.99$

Suposem que aplicant una prova a una persona que no té la malaltia, hi ha una possibilitat de l'1% d'aconseguir un fals positiu, això és:

$P(positiu|sa)=1\%$ i $P(negatiu|sa)=99\%$

Finalment, suposem que aplicant la prova a una persona que té la malaltia, hi ha una possibilitat de l'1% d'un fals negatiu, això és:

$P(negatiu|malalt)=1\%$ i $P(positiu|malalt)=99\%$

Ara, hom pot calcular el següent:

• La fracció d'individus al grup que estan sans i donen negatiu:

$P(sa\cap negatiu)=P(sa)\times P(negatiu|sa)=99\%\times 99\%=98.01\%$

• La fracció d'individus al grup que estan malalts i donen positiu:

$P(malalt\cap positiu)=P(malalt)\times P(positiu|malalt)=1\%\times 99\%=0.99\%$

• La fracció d'individus al grup que donen fals positiu:

$P(sa\cap positiu)=P(sa)\times P(positiu|sa)=99\%\times 1\%=0.99\%$

• La fracció d'individus al grup que donen fals negatiu:

$P(malalt\cap negatiu)=P(malalt)\times P(negatiu|malalt)=1\%\times 1\%=0.01\%$

• La fracció d'individus al grup que donen positiu:

$P(positiu)=P(sa\cap positiu)+P(malalt\cap positiu)=0,99\%+0,99\%=1.98\%$

• La probabilitat que un individu tingui realment la malaltia, donat un resultat de la prova positiu:

$P(malalt|positiu)={\frac {P(malalt\cap positiu)}{P(positiu)}}={\frac {0.99\%}{1.98\%}}=50\%$

En aquest exemple hauria de ser fàcil veure la diferència entre les probabilitats condicionades P(positiu|malalt), que és del 99%, i P(malalt|positiu), que és del 50%. La primera és la probabilitat que un individu malalt doni positiu a la prova, i la segona és la probabilitat que un individu que doni positiu a la prova, tingui realment la malaltia. Amb els nombres escollits aquí, aquest últim resultat probablement seria considerat inacceptable: la meitat de la gent que dona positiu, en realitat està sana.

La probabilitat de tenir una malaltia rara és de 0,001: $P(malalt)=0,001$

La probabilitat que quan el pacient està malalt s'encerti el diagnòstic és de 0.99: $P(positiu|malalt)=0,99$

La probabilitat de fals positiu és de 0,05: $P(positiu|sa)=0,05$

Pregunta: Em diuen que he donat positiu, quina probabilitat hi ha que tingui la malaltia?

$P(malalt|positiu)={\frac {P(malalt)\times P(positiu|malalt)}{P(positiu)}}$

$P(malalt|positiu)=P(malalt)\times {\frac {P(positiu|malalt)}{P(malalt)\times P(positiu|malalt)+P(sa)\times P(positiu|sa)}}$

$P(malalt|positiu)={\frac {0,001\times 0,99}{0,001\times 0,99+0,999\times 0,05}}=0,019=1,9\%$

Vegeu també

• Falsos positius i falsos negatius