Sinus
A les matemàtiques, el sinus és una de les sis funcions trigonomètriques, anomenades també funcions circulars. Aquesta és una funció real i imparell el domini de la qual és (el conjunt dels nombres reals) i que el seu codomini és l'interval tancat :[1]
es denota per a tot . El nom s'abreuja a vegades com sen o sin depenent de les formes en les quals estiguin; espanyola, llatina o anglesa.[2][3][4]
Etimologia
modificaL'astrònom i matemàtic indi Aryabhata (476–550 d. C.) va estudiar el concepte de «sinus» amb el nom sànscrit d'ardhá-jya, sent अर्ध ardha: «meitat, mitjà», i ज्या jya: «corda»).[5] Quan els escriptors àrabs van traduir aquestes obres científiques a l'àrab, es referien a aquest terme com جِيبَ jiba . No obstant això, en l'àrab escrit s'ometen les vocals, per la qual cosa el terme va quedar abreujat jb. Escriptors posteriors que no sabien l'origen estranger de la paraula van creure que jb era l'abreviatura de jiab (que vol dir «badia», «cavitat» o «sinus»).
A la fi del segle xii, el traductor italià Gerard de Cremona (1114-1187) va traduir aquests escrits de l'àrab al llatí reemplaçant l'insensat jiab per la seva contrapart llatina sinus (‘buit, cavitat, badia).[6]
Segons una altra explicació, la corda d'un cercle es denomina en llatí inscripta corda o simplement inscripta. La meitat d'aquesta corda es diu semis inscriptae. La seva abreviatura era s. ins., que va acabar simplificada com sins. Per a assemblar-la a una paraula coneguda del llatí se la va denominar sinus.
Definició
modificaEn trigonometria, el sinus d'un angle d'un triangle rectangle es defineix com la raó entre el catet oposat a aquest angle i la hipotenusa:
Aquesta raó no depèn de la grandària del triangle rectangle triat sinó que és una funció dependent de l'angle
Si pertany a la circumferència goniomètrica, és a dir, la circumferència de radi u amb es té:
Ja que .
Aquesta construcció permet representar el valor del sinus per a angles aguts i funciona exactament igual per als vectors, representant un vector mitjançant la seva descomposició en els vectors ortogonals i .
Relacions trigonomètriques
modificaEl sinus pot relacionar-se amb altres funcions trigonomètriques mitjançant l'ús d'identitats trigonomètriques.
El sinus és una funció imparella, és a dir:
El si és una funció periòdica de període ,
Per inducció ja que aplicant un nombre parell de cops s'arriba a tots els valors de k. |
En funció del cosinus
modificaLa corba del cosinus és la corba del sinus desplaçada a l'esquerra donant lloc a la següent expressió:
A més, com que la funció cosinus comparteix la mateixa periodicitat , és possible generalitzar a:
Com , buidant s'obté:
En funció de la tangent
modificaPodem afegir que , i continuant , buidant i reemplaçant s'obté:
En funció de la cotangent
modificaSabent que , i que , llavors:
En funció de la secant
modificaCom , buidant i reemplaçant s'obté:
En funció de la cosecant
modificaEl sinus i la cosecant són inversos multiplicadors:
Sinus de la suma de dos angles
modifica
|
---|
La demostració està a la secció d'Identitats trigonomètriques. |
Sinus de l'angle doble
modificaCom a:
N'hi ha prou amb el canvi |
Sinus de l'angle meitat
modificaUsant les fórmules:
resulta: i aillant : El canvi corretgeix l'angle i s'extrau el valor absolut amb signe del sinus: on . |
Suma de sinus com a producte
modifica
|
---|
Usant sinus de la suma de dos angles i amb el canvi s'aconsegueix:
Després sumant o restant segons convingui, surten les dues equacions. |
Producte de sinus com a suma
modificaUsant las equacions de cosinus de la suma de dos angles i restant, resulta la primera equació, i si a aquestes equacions se-ls aplica la identitat de cosinus de l'angle doble resulta la segona equació. |
Potències de sinus
modificaAnàlisi matemàtica
modificaDefinició
modificaLa funció sinus pot definir-se mitjançant un sistema de dues equacions diferencials ordinàries:
si la condició inicial és (0,1), llavors la seva solució és i .
Derivada
modifica- Observació: .
Com a sèrie de Taylor
modificaEl sinus com a Sèrie de Taylor pel que fa a a = 0 és:
Propietats
modifica- És una funció contínua en tot el seu domini de definició.
- És una funció transcendent perquè no es pot expressar mitjançant una funció algebraica, sigui sencera, racional o irracional.
- El si és una funció analítica, això és, que té derivada contínua de qualsevol ordre.
- Té una infinitat comptable de zeros, on tala a l'eix X.
- Té una infinitat comptable de valor màxim = 1; igual quantitat comptable de valor mínim = -1.
- Tenen infinitat comptable de punts d'inflexió.
- La seva gràfica és còncava (cap avall) en
- La seva gràfica és convexa (cap amunt) en [8]
Anàlisi complexa
modificaAl pla complex a través de la fórmula d'Euler es determina que:Plantilla:Demostración
En programació
modificaGran part dels llenguatges de programació tenen la funció sinus a les seves llibreries.
La majoria dels models de calculadores estan configurats i accepten el valor d'un angle qualsevol en els tres sistemes estàndard de referència angular: graus sexagesimals, graus centesimals i radiants.
Exemples:
- Sinus de 45 graus = 0,7071
- Sinus de 45 radiants = 0,8509.
S'ha de tenir en compte que la diferència entre tots dos valors resultants podria passar desapercebuda. És necessari, llavors, passar els graus a radiants o viceversa. El símbol π és el nombre pi. Exemple de conversions:
- Rad = Deg * π/180
- Deg = Rad * 180/π.
La comprovació del mode en curs d'una calculadora es fa amb valors coneguts i 90°:
- en cas de la manera de radiants actiu.
- en cas de la manera de graus sexagesimals actiu.
Representació gràfica
modificaVegeu també
modificaReferències
modifica- ↑ A. I. Markushévich: Curvas maravillosas/ Números complejos y representaciones conformee/ Funciones maravillosas Editorial Mir, Moscú, 1988, pp 99-100
- ↑ Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. Diccionario esencial de las ciencias. ISBN 84-239-7921-0. «Sen->Abreviatura de seno. Seno->...Abreviado sen. Sin->()Elemento compositivo que significa "con","a la vez".»
- ↑ A. Bouvier y M. George. Diccionario de Matemáticas. AKAL. ISBN 84-7339-706-1. «Sen->Abreviación de seno. Seno->...Representado por Sen.»
- ↑ Equipo editorial. Enciclopedia didáctica de matemáticas. OCEANO, 2001. ISBN 84-494-0696-X. «Seno-> ... sen â ...»
- ↑ «Etimología de algunas palabras», 04-12-2008. Arxivat de l'original el 2008-12-04. [Consulta: 24 maig 2024].
- ↑ Howard Eves. An Introduction to the History of Mathematics (6th Edition, p.237). Saunders College Publishing House, New York, 1990.
- ↑ I. Bronshtein & K. Semendiaev: Manual de matemáticas, Editorial Mir, Moscú/ 1973, pág. 210
- ↑ Bronshtein. Op. ci pág, pág. 275