Algebraická struktura: Porovnání verzí

Smazaný obsah Přidaný obsah

V textu

Aktuální verze z 11. 9. 2023, 13:14

Algebraická struktura je v matematice každá množina, na které jsou definované nějaké operace a daná množina je vzhledem k těmto operacím uzavřená, tzn. že výsledkem operace nad prvky této množiny je vždy také prvek této množiny. Algebraická struktura je speciálním případem struktury definované v matematické logice.

Studiem konkrétních algebraických struktur se zabývá abstraktní algebra, resp. její různé disciplíny – teorie grup, teorie okruhů, teorie těles,…

Studiem vlastností, které mají všechny nebo mnoho algebraických struktur společné, se zabývá univerzální algebra a ještě obecněji (se zahrnutím i jiných než algebraických struktur) pak teorie kategorií.

Definice

Mějme neprázdnou množinu M a neprázdnou množinu operací O na množině M. Pak se uspořádaná dvojice (M, O) nazývá algebraická struktura. Množina M se pak nazývá nosič této algebraické struktury.

Příklady

Algebraické struktury

(N; +) – množina přirozených čísel s operací sčítání.
(N; .) – množina přirozených čísel s operací násobení.
(N; +, .) – množina přirozených čísel s operacemi sčítání a násobení.
Booleovy algebry, grupy, okruhy, tělesa, vektorové prostory a svazy jsou algebraické struktury.

Nejsou algebraickými strukturami

(N; -) – množina přirozených čísel není vzhledem k operaci odčítání uzavřená. Např. 2 ∈ N, 3 ∈ N, ale 2-3 ∉ N.
(N; :) – množina přirozených čísel není vzhledem k operaci dělení uzavřená. Např. 5 ∈ N, 3 ∈ N, ale 5:3 ∉ N.

Vztah k relačním strukturám a modelům

Protože každou n-ární operaci lze považovat za (n+1)-ární relaci, je každá algebraická struktura zároveň relační strukturou. Příkladem relační struktury, která není algebraickou strukturou, je uspořádaná množina a neorientovaný graf.

Strukturu, která obsahuje algebraické operace a/nebo relace, lze reprezentovat jako model jazyka prvního řádu; ne vždy však lze tyto struktury vymezit pomocí teorie prvního řádu. Příkladem struktury, kde to lze, je grupa – grupami jsou právě modely teorie grup (zde slovem "teorie" není myšlena oblast matematiky zabývající se grupami, ale konkrétní formální teorie predikátové logiky). Podobně lineárně uspořádané množiny jsou právě modely teorie lineárních uspořádání.

Totéž ale neplatí pro dobře uspořádané množiny. Existenci nejmenšího prvku ke každé podmnožině nelze popsat žádným (ani nekonečným) počtem formulí prvního řádu. Dobře uspořádané množiny jsou tedy ty modely jazyka teorie uspořádání (model jazyka nemusí splňovat axiomy, na rozdíl od modelu teorie), které splňují jistou vlastnost (každá neprázdná podmnožina struktury má nejmenší prvek), kterou nelze zapsat jako soustavu formulí.

Existuje též mnoho matematických struktur, které nespadají do žádné z výše uvedených kategorií (algebraická, relační, reprezentovatelná jako model). Příkladem jsou metrické a topologické prostory.

Vlastnosti operací

Klasifikace

Algebraické struktury s jednou operací

Grupoid je algebraická struktura s jednou operací.
Kvazigrupa je grupoid uzavřený vzhledem k operaci inverze.
Pologrupa je asociativní grupoid.
Monoid je pologrupa s neutrálním prvkem.
Grupa je monoid s inverzními prvky.
Abelova grupa je grupa s komutativní operací.

Algebraické struktury se dvěma operacemi

Polookruh je algebraická struktura s distributivností, která je vzhledem ke sčítání komutativní monoid a vzhledem k násobení monoid.
Okruh je algebraická struktura s distributivností, která je vzhledem ke sčítání komutativní grupou a vzhledem k násobení pologrupa.
Obor integrity je okruh s jednotkovým prvkem, který neobsahuje netriviální dělitele nuly.
Těleso je okruh, který je grupou vzhledem k násobení.
Pole je těleso, které je vzhledem k násobení komutativní grupou.

Algebraické struktury s uspořádáním

Částečně uspořádaná množina (poset)
Polosvaz
Svaz (například Booleova algebra)

Odkazy

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu algebraická struktura na Wikimedia Commons

Související články

@@ Řádek 1: / Řádek 1: @@
-'''Algebraická struktura''' či '''algebra''' je v [[matematika|matematice]] každá [[množina]], na které jsou definované nějaké [[operace (matematika)|operace]] a daná struktura je na tyto operace uzavřená. Algebraická struktura je speciálním případem [[struktura (logika)|struktury]] definované v [[matematická logika|matematické logice]].
+'''Algebraická struktura''' je v [[matematika|matematice]] každá [[množina]], na které jsou definované nějaké [[operace (matematika)|operace]] a daná množina je vzhledem k těmto operacím [[Uzavřená množina vůči operaci|uzavřená]], tzn. že výsledkem operace nad prvky této množiny je vždy také prvek této množiny. Algebraická struktura je speciálním případem [[struktura (logika)|struktury]] definované v [[matematická logika|matematické logice]].
-Studiem konkrétních algebraických struktur se zabývá [[algebra]], resp. její různé disciplíny – [[teorie grup]], [[teorie okruhů]], [[teorie těles]],… Ze zcela obecného hlediska zkoumá algebraické struktury [[univerzální algebra]].
+Studiem konkrétních algebraických struktur se zabývá [[abstraktní algebra]], resp. její různé disciplíny – [[teorie grup]], [[teorie okruhů]], [[teorie těles]],…
+Studiem vlastností, které mají všechny nebo mnoho algebraických struktur společné, se zabývá [[univerzální algebra]] a ještě obecněji (se zahrnutím i jiných než algebraických struktur) pak [[teorie kategorií]].
 == Definice ==
-Mějme neprázdnou množinu ''M'' a neprázdnou množinu operací ''O'' na množině ''M''. Pak se [[uspořádaná dvojice]] (''M'', ''O'') nazývá '''algebraická struktura'''. Množina ''M'' se pak nazývá '''nosič''' této algebraické struktury.
+Mějme neprázdnou množinu ''M'' a [[Prázdná množina|neprázdnou množinu]] operací ''O'' na množině ''M''. Pak se [[uspořádaná dvojice]] (''M'', ''O'') nazývá '''algebraická struktura'''. Množina ''M'' se pak nazývá '''nosič''' této algebraické struktury.
 == Příklady ==
 === Algebraické struktury ===
-* ('''N'''; +) - množina [[přirozené číslo|přirozených čísel]] s operací [[sčítání]]
+* ('''N'''; +) – množina [[přirozené číslo|přirozených čísel]] s operací [[sčítání]].
-* ('''N'''; .) - množina přirozených čísel s operací [[násobení]]
+* ('''N'''; .) – množina přirozených čísel s operací [[násobení]].
-* ('''N'''; +, .) - množina přirozených čísel s operacemi sčítání a násobení.
+* ('''N'''; +, .) – množina přirozených čísel s operacemi sčítání a násobení.
-* [[Booleova algebra|Booleovy algebry]], [[grupa|grupy]], [[okruh (algebra)|okruhy]], [[těleso (algebra)|tělesa]], [[vektorový prostor|vektorové prostory]] a [[svaz (matematika)|svazy]] jsou algebraické struktury
+* [[Booleova algebra|Booleovy algebry]], [[grupa|grupy]], [[okruh (algebra)|okruhy]], [[těleso (algebra)|tělesa]], [[vektorový prostor|vektorové prostory]] a [[svaz (matematika)|svazy]] jsou algebraické struktury.
 === Nejsou algebraickými strukturami ===
-* ('''N'''; -) - množina [[přirozené číslo|přirozených čísel]] není na operaci [[odečítání]] uzavřená, tj. v množině nelze neomezeně odečítat, dříve či později by byl výsledkem této operace prvek mimo množinu '''N'''.
+* ('''N'''; -) – množina [[přirozené číslo|přirozených čísel]] není vzhledem k operaci [[odčítání]] uzavřená. Např. 2 ∈ '''N''', 3 ∈ '''N''', ale 2-3 ∉ '''N'''.
-* ('''N'''; :) - množina přirozených čísel není na operaci [[dělení]] uzavřená, tj. v množině nelze neomezeně dělit, dříve či později by byl výsledkem této operace prvek mimo množinu '''N'''.
+* ('''N'''; :) – množina přirozených čísel není vzhledem k operaci [[dělení]] uzavřená. Např. 5 ∈ '''N''', 3 ∈ '''N''', ale 5:3 ∉ '''N'''.
+=== Vztah k relačním strukturám a modelům ===
+Protože každou ''n''-ární [[operace (matematika)|operaci]] lze považovat za (''n''+1)-ární [[relace (matematika)|relaci]], je každá algebraická struktura zároveň [[Relační struktura|relační strukturou]]. Příkladem relační struktury, která není algebraickou strukturou, je [[uspořádaná množina]] a [[neorientovaný graf]].
+Strukturu, která obsahuje algebraické operace a/nebo relace, lze reprezentovat jako [[Model (logika)|model]] jazyka [[Predikátová logika prvního řádu|prvního řádu]]; ne vždy však lze tyto struktury vymezit pomocí teorie prvního řádu. Příkladem struktury, kde to lze, je [[grupa]] – grupami jsou právě modely teorie grup (zde slovem "teorie" není myšlena oblast matematiky zabývající se grupami, ale konkrétní [[formální teorie]] [[Predikátová logika prvního řádu|predikátové logiky]]). Podobně [[Lineární uspořádání|lineárně uspořádané množiny]] jsou právě modely teorie lineárních uspořádání.
+Totéž ale neplatí pro [[Dobře uspořádaná množina|dobře uspořádané množiny]]. Existenci nejmenšího prvku ke každé podmnožině nelze popsat žádným (ani nekonečným) počtem formulí prvního řádu. Dobře uspořádané množiny jsou tedy ty [[Model (logika)#Model jazyka|modely jazyka]] teorie uspořádání (model jazyka nemusí splňovat axiomy, na rozdíl od modelu teorie), které splňují jistou vlastnost (každá neprázdná podmnožina struktury má nejmenší prvek), kterou nelze zapsat jako soustavu formulí.
+[[Matematická struktura#Přehled matematických struktur|Existuje]] též mnoho matematických struktur, které nespadají do žádné z výše uvedených kategorií (algebraická, relační, reprezentovatelná jako model). Příkladem jsou [[Metrický prostor|metrické]] a [[Topologický prostor|topologické prostory]].
-== Souvislost s relačními strukturami ==
-[[Matematická struktura]] (nebo také relační struktura) je obecnějším pojmem než struktura algebraická. Matematická struktura je totiž tvořena dvojicí (''M'',''R''), kde ''R'' je množina relací definovaných v ''M''. Protože každou ''n''-ární [[operace (matematika)|operaci]] lze považovat za (''n''+1)-ární [[relace (matematika)|relaci]] je každá algebraická struktura zároveň matematickou strukturou. Obráceně to neplatí - například struktura ('''N'''; ≤) je matematická struktura, není však algebraická struktura. Společným zobecněním relačních a algebraických struktur je pojem [[struktura (logika)|struktury]] definovaný v [[matematická logika|matematické logice]] – tato struktura může obsahovat jak operace, tak relace.
 == Vlastnosti operací ==
@@ Řádek 27: / Řádek 37: @@
 == Klasifikace ==
 === Algebraické struktury s jednou operací ===
 * '''[[Grupoid]]''' je algebraická struktura s jednou operací.
-* '''[[Kvazigrupa]]''' je grupoid, na kterém lze neomezeně provádět inverzní operaci.
+* '''[[Kvazigrupa]]''' je grupoid uzavřený vzhledem k operaci [[Inverzní prvek|inverze]].
 * '''[[Pologrupa]]''' je asociativní grupoid.
 * '''[[Monoid]]''' je pologrupa s neutrálním prvkem.
 * '''[[Grupa]]''' je monoid s inverzními prvky.
-* '''[[Abelova grupa]]''' je komutativní grupa.
+* '''[[Abelova grupa]]''' je grupa s komutativní operací.
 === Algebraické struktury se dvěma operacemi ===
-* '''[[Polookruh]]''' je algebraická struktura, která je vzhledem ke sčítání komutativní [[monoid]] a vzhledem k násobení [[monoid]]
+* '''[[Polookruh]]''' je algebraická struktura s distributivností, která je vzhledem ke sčítání komutativní [[monoid]] a vzhledem k násobení [[monoid]].
-* '''[[okruh (algebra)|Okruh]]''' je algebraická struktura s distributivností, která je ke sčítání komutativní grupou a k násobení pologrupou.
+* '''[[okruh (algebra)|Okruh]]''' je algebraická struktura s distributivností, která je vzhledem ke sčítání komutativní grupou a vzhledem k násobení [[pologrupa]].
-* '''[[Obor integrity]]''' je okruh s jednotkovým prvkem, který neobsahuje netriviální dělitele nuly
+* '''[[Obor integrity]]''' je okruh s [[jednotkový prvek|jednotkovým prvkem]], který neobsahuje netriviální dělitele nuly.
-* '''[[těleso (algebra)|Těleso]]''' je okruh, který je grupou vůči násobení
+* '''[[těleso (algebra)|Těleso]]''' je okruh, který je grupou vzhledem k násobení.
-* '''[[pole (algebra)|Pole]]''' je těleso, které je vůči násobení komutativní grupou
+* '''[[pole (algebra)|Pole]]''' je těleso, které je vzhledem k násobení komutativní grupou.
 === Algebraické struktury s uspořádáním ===
 * '''[[Částečně uspořádaná množina]]''' ('''poset''')
 * '''[[Polosvaz]]'''
-* '''[[svaz (matematika)|Svaz]]'''
+* '''[[svaz (matematika)|Svaz]]''' (například [[Booleova algebra]])
-* '''[[Booleova algebra]]''' je svaz s nulou a jednotkou, který je komplementární a distributivní
+== Odkazy ==
-[[Kategorie:Algebra]]
+=== Externí odkazy ===
-[[ar:بنية جبرية]]
+* {{Commonscat}}
-[[ca:Estructura algebraica]]
-[[de:Algebraische Struktur]]
+=== Související články ===
-[[en:Algebraic structure]]
+* [[Algebra]]
-[[es:Estructura algebraica]]
+* [[Aritmetika]]
-[[eu:Egitura aljebraiko]]
+* [[Teorie množin]]
-[[fr:Structure algébrique]]
-[[he:מבנה אלגברי]]
+{{Autoritní data}}
-[[it:Struttura algebrica]]
+{{Portály|Matematika}}
-[[ja:代数的構造]]
-[[ko:대수적 구조]]
+[[Kategorie:Algebra]]
-[[nl:Algebraïsche structuur]]
+[[Kategorie:Algebraické struktury| ]]
-[[nn:Algebraisk struktur]]
-[[no:Algebraisk struktur]]
-[[oc:Estructura algebrica]]
-[[pms:Strutura algébrica]]
-[[pt:Estrutura algébrica]]
-[[ru:Алгебраическая система]]
-[[simple:Algebraic structure]]
-[[sk:Algebrická štruktúra]]
-[[sr:Алгебарска структура]]
-[[sv:Algebraisk struktur]]
-[[uk:Алгебраїчна система]]
-[[zh:代数结构]]