„Gradient (Mathematik)“ – Versionsunterschied

Der Gradient ist ein Operator, der auf ein Skalarfeld angewandt werden kann. Hierdurch erhält man ein Vektorfeld, welches die Änderungsrate und die Richtung der größten Änderung des Skalarfeldes angibt. Der Gradient ist damit eine Verallgemeinerung der Ableitung für Funktionen von mehreren Variablen.

Interpretiert man beispielsweise die Höhenkarte einer Landschaft als eine Funktion z(x, y), die jedem Ort die Höhe an dieser Stelle zuordnet, dann ist der Gradient von z an einer Stelle (x, y) ein Vektor, der in die Richtung des steilsten Anstieges zeigt, und dessen Länge ein Maß für die Steilheit ist.

Der Gradient zeigt dabei in die Richtung der Normalen der jeweiligen Fläche, auf der die Werte des Skalarfeldes konstant sind (s.a. Niveaufläche). Dabei ist der Gradient so orientiert, dass er in die Richtung wachsender Funktionswerte des Skalarfeldes zeigt. Der Betrag des Gradienten stimmt außerdem mit der Richtungsableitung der Funktion des Skalarfeldes in Normalenrichtung überein.

Der Gradient lässt sich formal als Ableitungsoperator interpretieren, und gehört zusammen mit den anderen Ableitungsoperatoren Divergenz und Rotation der Vektoranalysis an, einem Untergebiet der mehrdimensionalen Analysis.

In den beiden folgenden Bildern stellen die Grauschattierungen das Skalarfeld dar, wobei schwarz den höchsten Funktionswert darstellt, und die Pfeile symbolisieren den zugehörigen Gradienten.

Zwei Skalarfelder mit den zugehörigen Gradienten

Gradient eines Skalarfeldes

Der Gradient eines Skalarfeldes $\varphi \left({\vec {r}}\right)$ ist definiert als der Vektor der partiellen Ableitungen. Er existiert daher nur an den Stellen, an denen $\varphi$ bezüglich aller Koordinaten partiell differenzierbar ist. Er wird als $\nabla \varphi$ oder als $\operatorname {grad} \varphi$ geschrieben. Dabei ist $\nabla$ der Nabla-Operator und $\operatorname {grad}$ das Funktionssymbol des Gradienten. Für den Fall eines Skalarfeldes $\varphi (x,y,z)$ ist der Gradient in kartesischen Koordinaten definiert als

$\operatorname {grad} \,\varphi =\nabla \varphi ={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}{\vec {e}}_{x}+{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}{\vec {e}}_{y}+{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}{\vec {e}}_{z}={\begin{pmatrix}\partial \varphi /\partial x\\\partial \varphi /\partial y\\\partial \varphi /\partial z\end{pmatrix}}$

Allgemein gilt

$\mathrm {grad} \varphi (x_{1},\ldots ,x_{n})=\nabla \varphi (x_{1},\ldots ,x_{n})={\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}}\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}$

Der Gradient kann je nach Verwendungszweck als Zeilen- oder Spaltenvektor geschrieben werden.

Darstellung in Zylinderkoordinaten:

$V=V\left({r;\varphi ;z}\right)$
$\operatorname {grad} V=\nabla V={\frac {\partial V}{\partial r}}{\vec {e}}_{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial V}{\partial \varphi }}{\vec {e}}_{\varphi }+{\frac {\partial V}{\partial z}}{\vec {e}}_{z}$

Darstellung in Kugelkoordinaten:

$V=V\left({r;\vartheta ;\varphi }\right)$
$\operatorname {grad} V=\nabla V={\frac {\partial V}{\partial r}}{\vec {e}}_{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial V}{\partial \vartheta }}{\vec {e}}_{\vartheta }+{\frac {1}{r\sin \vartheta }}{\frac {\partial V}{\partial \varphi }}{\vec {e}}_{\varphi }$

Geometrische Interpretation

Geometrisch betrachtet stellt der Gradient an einem Punkt einen Vektor dar, der in Richtung des steilsten Anstieges des Skalarfeldes weist. Dabei entspricht der Betrag des Vektors der Stärke des Anstieges. Befindet man sich an einem Extremum (lokales Minimum oder Maximum) oder einem Sattelpunkt, so ist der Gradient an dieser Stelle gerade der Nullvektor.

Mit Hilfe des Gradienten lässt sich auch der Anstieg in jeder beliebigen Richtung ermitteln. Dieser Anstieg wird auch Richtungsableitung genannt.

Richtungsableitung

Unter der Richtungsableitung versteht man die Ableitung, also den Anstieg eines Skalarfeldes $\varphi \left({\vec {r}}\right)$ in Richtung eines normierten Vektors ${\vec {v}}$, genauer

${\frac {\partial \varphi }{\partial {\vec {v}}}}=\lim _{t\to 0}{\frac {\varphi ({\vec {r}}+t{\vec {v}})-\varphi ({\vec {r}})}{t}}.$

Ist $\varphi$ in einer Umgebung von ${\vec {r}}$ differenzierbar und existieren die partiellen Ableitungen stetig in ${\vec {r}}$, dann kann man die Richtungsableitung berechnen als das Skalarprodukt aus ${\vec {v}}$ mit $|{\vec {v}}|=1$ und dem Gradienten von $\varphi$.

${{\partial \varphi } \over {\partial {\vec {v}}}}=\left\langle \mathrm {grad} \varphi {,}{\vec {v}}\right\rangle$

Zur Herleitung der Richtungsableitung:
Multipliziert man die Definition des Gradienten beiderseits von rechts mit einem gewünschten Richtungsvektor $e_{i}$, in dessen Richtung man die Steigung des Skalarfelds wissen will, so erhält man folgenden Ausdruck:

$\operatorname {grad} \,\varphi \,\cdot \,{\vec {e}}_{i}=\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}}{\vec {e}}_{1}+{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{2}}}{\vec {e}}_{2}+\cdots +{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{n}}}{\vec {e}}_{n}\right)\cdot \,{\vec {e}}_{i}$

und nach Ausmultiplizieren:

$\operatorname {grad} \,\varphi \,\cdot \,{\vec {e}}_{i}={\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}}{\vec {e}}_{1}\cdot {\vec {e}}_{i}+{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{2}}}{\vec {e}}_{2}\cdot {\vec {e}}_{i}+\cdots +{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{n}}}{\vec {e}}_{n}\cdot {\vec {e}}_{i}$

Mit einem Orthonormalsystem $e_{1}\perp e_{2}\perp \cdots \perp e_{n}$ und dem Skalarprodukt $e_{i}\cdot e_{j}=0$ und $e_{i}\cdot e_{i}=1$ folgt für die Richtungsableitung in eine Richtung $e_{i}$ mit $i\in \mathbb {N}$:

$\operatorname {grad} \,\varphi \,\cdot \,{\vec {e}}_{1}={\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}}{\vec {e}}_{1}\cdot {\vec {e}}_{1}={\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}}$

$\operatorname {grad} \,\varphi \,\cdot \,{\vec {e}}_{2}={\frac {\partial \varphi }{\partial x_{2}}}{\vec {e}}_{2}\cdot {\vec {e}}_{2}={\frac {\partial \varphi }{\partial x_{2}}}$

usw. bis

$\operatorname {grad} \,\varphi \,\cdot \,{\vec {e}}_{n}={\frac {\partial \varphi }{\partial x_{n}}}{\vec {e}}_{n}\cdot {\vec {e}}_{n}={\frac {\partial \varphi }{\partial x_{n}}}$

Jacobi-Matrix eines Vektorfeldes

Der Vektor der partiellen Ableitungen kann auch für vektorwertige Funktionen definiert werden. Ist ${\vec {F}}:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ eine vektorwertige Funktion, dann seien $F_{1},\ldots ,F_{m}$ ihre Komponentenfunktionen, das heißt

${\vec {F}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=(F_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,F_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n}))$.

Man definiert dann die Ableitung von ${\vec {F}}$ als (Spalten-)Vektor der (Zeilenvektor-)Gradienten der $F_{i}$. Der Vektorgradient des Feldes ist die Jacobi-Matrix.

${\mathcal {J}}_{\vec {F}}=\operatorname {grad} {\vec {F}}=\nabla {\vec {F}}={{\partial (F_{1},\ldots ,F_{m})} \over {\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial F_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial F_{m}}{\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}$

Für $m=n$ ist das Ergebnis ein Tensor der 2. Stufe. Tensoren dieser Art spielen beispielsweise bei der Beschreibung von mechanischer Spannung und Elastizität eine Rolle.

Hesse-Matrix

Mit dieser Verallgemeinerung definiert man durch

$\operatorname {H} (\varphi )=\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\right)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{1}\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{1}\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{1}\partial x_{n}}}\\{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{2}\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{2}\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{2}\partial x_{n}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{n}\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{n}\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{n}\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}$

die zweite Ableitung $\operatorname {H} (\varphi )$ eines Skalarfeldes, die auch mit Hesse-Matrix bezeichnet wird.

Rechenregeln

Für alle Konstanten $c\in \mathbb {R}$ und Skalarfelder $u,v:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ gilt:

• $\operatorname {grad} \,c={\vec {0}}$

Linearität

• $\operatorname {grad} \,(c\cdot u)=c\cdot \operatorname {grad} \,u$
• $\operatorname {grad} \,(u+v)=\operatorname {grad} \,u+\operatorname {grad} \,v$

Produktregel

• $\operatorname {grad} \,(u\cdot v)=u\cdot \operatorname {grad} \,v+v\cdot \operatorname {grad} \,u$

Anwendung

Vollständiges oder totales Differential eines Skalarfeldes

$\mathrm {d} \varphi ={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\mathrm {d} x+{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\mathrm {d} y+{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\mathrm {d} z=\operatorname {grad} \,\varphi \;\mathrm {d} {\vec {r}}\qquad \mathrm {d} {\vec {r}}={\begin{pmatrix}\mathrm {d} x\\\mathrm {d} y\\\mathrm {d} z\end{pmatrix}}$

Den Gradienten in allgemein orthogonalen Koordinaten bekommt man mit dem allgemein formulierten Nablaoperator:

${\vec {\nabla }}=\sum _{a}{{\vec {e}}_{q_{a}}{\frac {1}{h_{a}}}{\frac {\partial }{\partial {q_{a}}}}}\qquad h_{a}=\left|{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial {q_{a}}}}\right|$

Weitere Beispiele

Die Wärmeverteilung einer vom Strom durchflossenen Leiterbahn auf einem Mikrochip lässt sich durch ein Skalarfeld von unterschiedlichen Temperaturen beschreiben. Der negative Gradient dieses Skalarfeldes einschließlich eines Materialfaktors ist der Wärmefluss. Der Wärmefluss ist somit ein Vektorfeld, welches proportional zum negativen Temperaturgradienten ist.