Diferencia entre revisiones de «Complemento de un conjunto»
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El '''complemento de un conjunto''' o '''conjunto complementario''' es otro conjunto que contiene todos los elementos que no están en el conjunto original. Para poder definirlo es necesario especificar qué tipo de elementos se están utilizando, o de otro modo, cuál es el [[conjunto universal]]. Por ejemplo, si se habla de [[números naturales]], el complementario del conjunto de los [[números primos]] {{math|'''P'''}} es el conjunto de los números no primos {{math|''C''}}, que está formado por los [[números compuestos]] y el [[uno|1]]: |
El '''complemento de un conjunto''' o '''conjunto complementario''' es otro conjunto que contiene todos los elementos que no están en el conjunto original. Para poder definirlo es necesario especificar qué tipo de elementos se están utilizando, o de otro modo, cuál es el [[conjunto universal]]. Por ejemplo, si se habla de [[números naturales]], el complementario del conjunto de los [[números primos]] {{math|'''P'''}} es el conjunto de los números no primos {{math|''C''}}, que está formado por los [[números compuestos]] y el [[uno|1]]: |
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A su vez, el conjunto {{math|'' |
A su vez, el conjunto {{math|''P''}} es el complementario de {{math|''C''}}. El conjunto complementario se denota por una barra horizontal o por el [[superíndice]] «{{math|{{unicode|∁}}}}», por lo que se tiene: {{math|1='''P'''<sup>{{unicode|∁}}</sup> = ''C''}}, y también {{math|1={{sobrerrayado|''C''}} = '''P'''}}. |
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El conjunto complementario de {{math|''A''}} es la [[conjunto diferencia|diferencia]] (o '''complementario relativo''') entre el conjunto universal y {{math|''A''}}, por lo que ambas operaciones (complementario y diferencia) tienen propiedades similares. |
El conjunto complementario de {{math|''A''}} es la [[conjunto diferencia|diferencia]] (o '''complementario relativo''') entre el conjunto universal y {{math|''A''}}, por lo que ambas operaciones (complementario y diferencia) tienen propiedades similares. |
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Dado un conjunto {{math|''A''}}, su complementario es el conjunto formado por los elementos que no pertenecen a {{math|''A''}}: |
Dado un conjunto {{math|''A''}}, su complementario es el conjunto formado por los elementos que no pertenecen a {{math|''A''}}: |
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En también unas relaciones entre las operaciones de [[unión de conjuntos|unión]] e [[intersección de conjuntos|intersección]] a través del complemento: |
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{{teorema|título=[[Leyes de De Morgan]]|1=*El complementario de la unión de dos conjuntos es la intersección de los complementarios: |
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:<math>(A \cup B)^\complement = A^\complement \cap B^\complement</math> |
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:<math>(A \cap B)^\complement = A^\complement \cup B^\complement</math> |
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== Relación Complementaria == |
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Una [[Relación binaria]] ''R'' se define como un subconjunto de un [[producto cartesiano]] ''X'' × ''Y''. La '''relación complementaria''' <math>\bar{R}</math> es el complemento del conjunto ''R'' en ''X'' × ''Y''. El complemento de la relación ''R'' puede ser escrito como |
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:<math>\bar{R} \ = \ (X \times Y) \setminus R .</math> |
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Aquí, ''R'' es a menudo visto como una [[Matriz_booleana | matriz lógica]] con las filas representado los elementos de ''X'', y las columnas los elementos de ''Y''. La verdad de '' aRb '' corresponde a 1 en la fila '' a '', columna '' b ''. Produciendo la relación complementaria de "R" que corresponde a cambiar todos los 1 a 0 y los 0 a 1 para la matriz lógica del complemento. |
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Junto con la [[composición de relaciones]] y la [[relación inversa]] , las relaciones complementarias y el [[álgebra de conjuntos]] son la [[operación matemática | operación]] elemental de la [[lógica algebraica]] |
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* [[Diferencia de conjuntos]] |
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* [[Unión de conjuntos]] |
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* [[Diferencia simétrica]] |
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== Referencias == |
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*{{cita libro|apellidos=Lipschutz|nombre=Seymour|título=Teoría de conjuntos y temas afines|año=1991|editorial=McGraw-Hill|isbn=968-422-926-7}}[[Categoría:Teoría de conjuntos]] |
*{{cita libro|apellidos=Lipschutz|nombre=Seymour|título=Teoría de conjuntos y temas afines|año=1991|editorial=McGraw-Hill|isbn=968-422-926-7}}[[Categoría:Teoría de conjuntos]] |
Revisión actual - 21:38 6 feb 2024
El complemento de un conjunto o conjunto complementario es otro conjunto que contiene todos los elementos que no están en el conjunto original. Para poder definirlo es necesario especificar qué tipo de elementos se están utilizando, o de otro modo, cuál es el conjunto universal. Por ejemplo, si se habla de números naturales, el complementario del conjunto de los números primos P es el conjunto de los números no primos C, que está formado por los números compuestos y el 1:
A su vez, el conjunto P es el complementario de C. El conjunto complementario se denota por una barra horizontal o por el superíndice «∁», por lo que se tiene: P∁ = C, y también C = P.
El conjunto complementario de A es la diferencia (o complementario relativo) entre el conjunto universal y A, por lo que ambas operaciones (complementario y diferencia) tienen propiedades similares.
Definición
[editar]Dado un conjunto A, su complementario es el conjunto formado por los elementos que no pertenecen a A:
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Esta definición presupone que se ha especificado un conjunto universal U, pues de otro modo, en la afirmación «todos los x que no están en A», la palabra «todos» es ambigua. Si se menciona explícitamente el conjunto universal U, entonces el complementario de A es el conjunto de todos los elementos de U que no están en A, por lo que la relación con la diferencia es clara:
Por otro lado, considerando un conjunto universal, la diferencia entre dos conjuntos puede expresarse utilizando la noción de complementariedad:
Ejemplo.
- El complementario del conjunto de todos los hombres es el conjunto de todas las mujeres (hablando de personas).
- Hablando de números naturales, el complementario del conjunto {1, 5, 6, 7, 8, 10} es el conjunto {2, 3, 4, 9, 11, 12, ...}.
- El complementario del conjunto A en la imagen es la zona sombreada de azul (el conjunto universal U es toda el área del rectángulo).
Propiedades
[editar]Puesto que el conjunto universal contiene todos los elementos en consideración, y el conjunto vacío no contiene a ninguno, se tiene lo siguiente:
Puesto que la noción de complementariedad está relacionada con la negación en lógica, la primera posee propiedades similares a la segunda:
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En también unas relaciones entre las operaciones de unión e intersección a través del complemento:
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Relación Complementaria
[editar]Una Relación binaria R se define como un subconjunto de un producto cartesiano X × Y. La relación complementaria es el complemento del conjunto R en X × Y. El complemento de la relación R puede ser escrito como
Aquí, R es a menudo visto como una matriz lógica con las filas representado los elementos de X, y las columnas los elementos de Y. La verdad de aRb corresponde a 1 en la fila a , columna b . Produciendo la relación complementaria de "R" que corresponde a cambiar todos los 1 a 0 y los 0 a 1 para la matriz lógica del complemento.
Junto con la composición de relaciones y la relación inversa , las relaciones complementarias y el álgebra de conjuntos son la operación elemental de la lógica algebraica
Véase también
[editar]- Álgebra de conjuntos
- Conjunto
- Teoría de conjuntos
- Diferencia de conjuntos
- Unión de conjuntos
- Diferencia simétrica
Referencias
[editar]- Esta obra contiene una traducción parcial derivada de «Complementary relation» de Wikipedia en inglés, publicada por sus editores bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional.
- Lipschutz, Seymour (1991). Teoría de conjuntos y temas afines. McGraw-Hill. ISBN 968-422-926-7.