Diferencia entre revisiones de «Complemento de un conjunto»

El complemento de un conjunto A es otro conjunto A que contiene todos losgiles son tod05 UWU elementos (dentro del universo U) que no están en A.

El complemento de un conjunto o conjunto complementario es otro conjunto que contiene todos los elementos que no están en el conjunto original. Para poder definirlo es necesario especificar qué tipo de elementos se están utilizando, o de otro modo, cuál es el conjunto universal. Por ejemplo, si se habla de números naturales, el complementario del conjunto de los números primos P es el conjunto de los números no primos C, que está formado por los números compuestos y el 1:

$\mathbf {P} =\{2,3,5,7,\ldots \}$

$C=\{1,4,6,8,9,\ldots \}$

A su vez, el conjunto C es el complementario de P. El conjunto complementario se denota por una barra horizontal o por el superíndice «∁», por lo que se tiene: P^∁ = C, y también C = P.

El conjunto complementario de A es la diferencia (o complementario relativo) entre el conjunto universal y A, por lo que ambas operaciones (complementario y diferencia) tienen propiedades similares.

Definición

Complementario de un conjunto A.

Dado un conjunto A, su complementario es el conjunto formado por los elementos que no pertenecen a A:

El complementario de A es otro conjunto A∁ cuyos elementos son todos aquellos que no están en A: $x\in A^{\complement }{\text{ si y s}}{\acute {\text{o}}}{\text{lo si }}x\notin A$

Esta definición presupone que se ha especificado un conjunto universal U, pues de otro modo, en la afirmación «todos los x que no están en A», la palabra «todos» es ambigua. Si se menciona explícitamente el conjunto universal U, entonces el complementario de A es el conjunto de todos los elementos de U que no están en A, por lo que la relación con la diferencia es clara:

$A^{\complement }=U\setminus A$

Por otro lado, considerando un conjunto universal, la diferencia entre dos conjuntos puede expresarse utilizando la noción de complementariedad:

$A\setminus B=A\cap B^{\complement }$

Ejemplo.

• El complementario del conjunto de todos los hombres es el conjunto de todas las mujeres (hablando de personas).
• Hablando de números naturales, el complementario del conjunto {1, 5, 6, 7, 8, 10} es el conjunto {2, 3, 4, 9, 11, 12, ...}.
• El complementario del conjunto A en la imagen es la zona sombreada de azul (el conjunto universal U es toda el área del rectángulo).

Propiedades

Puesto que el conjunto universal contiene todos los elementos en consideración, y el conjunto vacío no contiene a ninguno, se tiene lo siguiente:

$U^{\complement }=\varnothing {\text{ , }}\varnothing ^{\complement }=U$

Puesto que la noción de complementariedad está relacionada con la negación en lógica, la primera posee propiedades similares a la segunda:

Propiedad involutiva. El complementario del complementario de A es el propio A: $(A^{\complement })^{\complement }=A$ La unión de un conjunto y su complementario es el conjunto universal: $A\cup A^{\complement }=U$ Un conjunto y su complementario son disjuntos: $A\cap A^{\complement }=\varnothing$ El complementario de A está contenido en el complementario de cualquier subconjunto de A: $B\subseteq A\rightarrow A^{\complement }\subseteq B^{\complement }$

Existen también unas relaciones entre las operaciones de unión e intersección a través del complemento:

Leyes de De Morgan El complementario de la unión de dos conjuntos es la intersección de los complementarios: $(A\cup B)^{\complement }=A^{\complement }\cap B^{\complement }$ El complementario de la intersección de dos conjuntos es la unión de los complementarios: $(A\cap B)^{\complement }=A^{\complement }\cup B^{\complement }$

Véase también

• Álgebra de conjuntos
• Conjunto
• Teoría de conjuntos

Referencias

• Lipschutz, Seymour (1991). Teoría de conjuntos y temas afines. McGraw-Hill. ISBN 968-422-926-7.