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Revisión del 18:44 27 jul 2022 editar Dušan Kreheľ (bot) (discusión · contribs.) Bots 25 259 ediciones More used with only one reference definition: 1 new reference and 1 new reference call. ← Ir a diferencia anterior		Revisión actual - 22:13 18 ene 2024 editar deshacer Isurus88 (discusión · contribs.) 7487 ediciones Función de sugerencias de enlaces: 3 enlaces añadidos. Etiquetas: Edición visual Edición desde móvil Edición vía web móvil Tarea para novatos Sugerencia: añadir enlaces
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Línea 13: Cuando se considera de esta manera, el producto exterior de dos vectores se denomina de [[hoja (geometría)\|2-hojas]]. De manera más general, el producto exterior de cualquier número ''k'' de vectores se puede definir como una ''k''-hoja. Pertenece a un espacio conocido como la ''k''-ésima potencia exterior. La magnitud de la ''k''-hoja resultante es el volumen de la dimensión ''k'' de un [[Paralelepípedo\|paralelotopo]] cuyas aristas son los vectores dados, así como la magnitud del [[producto mixto]] de los vectores en tres dimensiones da el volumen del paralelepípedo generado por esos vectores. El '''álgebra exterior''' o '''álgebra de Grassmann''', denominada así en referencia a [[Hermann Grassmann]],<ref>{{harvcoltxt\|Grassmann\|1844}} las introdujo como álgebras "extendidas" (cf. {{harvnb\|Clifford\|1878}}) usó la palabra ''äußere'' (traducida literalmente como ''exterior'') solo para indicar el ''produkt'' que definió, que hoy en día se llama convencionalmente ''producto exterior'', probablemente para distinguirlo del ''[[producto externo]]'' como se define en [[álgebra lineal]] moderna.</ref> es el sistema algebraico cuyo producto es el producto exterior. El álgebra exterior proporciona un entorno algebraico en el que manejar cuestiones geométricas. Por ejemplo, las hojas tienen una interpretación geométrica concreta y los objetos en el álgebra exterior pueden manipularse de acuerdo con un conjunto de reglas inequívocas. El álgebra exterior contiene objetos que no son solo ''k''-hojas, sino sumas de ''k''-hojas; tal suma se llama [[Multivector\|''k''-vector]].<ref>El término ''k-vector'' no es equivalente ni debe confundirse con términos similares como ''[[cuadrivector]]'', que en un contexto diferente podría significar un vector de 4 dimensiones. Una minoría de autores utiliza el término ''k''-multivector en lugar de ''k''-vector, lo que evita esta confusión.</ref> Las ''k''-hojas, debido a que son productos simples de vectores, se denominan elementos simples del álgebra. El ''rango'' de cualquier vector ''k'' se define como el número más pequeño de elementos simples de los que es una suma. El producto exterior se extiende al álgebra exterior completa, por lo que tiene sentido multiplicar dos elementos cualesquiera del álgebra. Equipada con este producto, el álgebra exterior es un [[álgebra asociativa]], lo que significa que <math>\alpha \wedge (\beta \wedge \gamma) = (\alpha \wedge \beta) \wedge \gamma</math> para cualquier elemento <math>\alpha, \beta, \gamma</math>. Los ''k'' vectores tienen grado ''k'', lo que significa que son sumas de productos de ''k'' vectores. Cuando se multiplican elementos de diferentes grados, los grados se suman como en una multiplicación de [[polinomio]]s. Esto significa que el álgebra exterior es un [[álgebra graduada]]. La definición del álgebra exterior tiene sentido para espacios no solo de vectores geométricos, sino de otros objetos similares a vectores como [[campo vectorial\|campos vectoriales]] o [[Función matemática\|funciones]]. En general, el álgebra exterior se puede definir para [[Módulo (matemática)\|módulos]] sobre un [[anillo conmutativo]], y para otras estructuras de interés en [[álgebra abstracta]]. Es una de estas construcciones más generales donde el álgebra exterior encuentra una de sus aplicaciones más importantes, donde aparece como el álgebra de [[forma diferencial\|formas diferenciales]] que es fundamental en áreas que usan la [[geometría diferencial]]. El álgebra exterior también tiene muchas propiedades algebraicas que la convierten en una herramienta conveniente en el álgebra misma. La asociación del álgebra exterior a un espacio vectorial es un tipo de [[funtor]] en espacios vectoriales, lo que significa que es compatible de cierta manera con la [[aplicación lineal]] de espacios vectoriales. El álgebra exterior es un ejemplo de [[biálgebra]], lo que significa que su [[espacio dual]] también posee un producto, y este producto dual es compatible con el producto exterior. Este álgebra dual es precisamente el álgebra de [[forma multilineal\|formas multilineales]], y el emparejamiento entre el álgebra exterior y su dual viene dado por el [[producto interno]]. Línea 21: === Áreas en el plano === [[~~Image~~Imagen:Area parallellogram as determinant.svg\|thumb\|right\|El área de un paralelogramo en términos del determinante de la matriz de coordenadas de dos de sus vértices]] El sistema de [[coordenadas cartesianas]] '''R'''<sup>2</sup> es un espacio vectorial [[Número real\|real]] equipado con una [[Base (álgebra)\|base]] que consta de un par de [[vector unitario\|vectores unitarios]] Línea 54: # {{nowrap\|1=A('''e'''<sub>1</sub>, '''e'''<sub>2</sub>) = 1}}, ya que el área del cuadrado unitario es uno. [[~~Image~~Imagen:Exterior calc cross product.svg\|250px\|thumb\|El producto cruzado (el vector '''<span style="color:blue;">azul</span>''') en relación con el producto exterior (el paralelogramo '''<span style="color:#779ECB;">azul claro</span>'''). La longitud del producto cruzado es la longitud del vector unitario paralelo ('''<span style="color:#CC0000;">rojo</span>''') como el tamaño del producto exterior es el tamaño del paralelogramo de referencia ('''<span style="color:#CC4E5C;">rojo claro</span>''')]] Con la excepción de la última propiedad, el producto exterior de dos vectores satisface las mismas propiedades que el área. En cierto sentido, el producto exterior generaliza la propiedad final al permitir comparar el área de un paralelogramo con la de cualquier paralelogramo elegido en un plano paralelo (aquí, el que tiene lados '' 'e' '' <sub>1</sub> y '' 'e' '' <sub>2</sub>). En otras palabras, el producto exterior proporciona una formulación de área ''independiente de la base''.<ref>Esta axiomatización de áreas se debe a [[Leopold Kronecker]] y [[Karl Weierstraß]]; véase {{harvtxt\|Bourbaki\|1989b\|loc=Historical Note}}. Para un tratamiento moderno, consúltese {{harvtxt\|Mac Lane\|Birkhoff\|1999\|loc=Theorem IX.2.2}}. Para un tratamiento elemental, consúltese {{harvtxt\|Strang\|1993\|loc=Chapter 5}}.</ref> Línea 106: : <math> x \wedge y = - ( y \wedge x ) .</math> De manera más general, si ''σ'' es una [[~~grupo~~Grupo de ~~permutación~~permutaciones\|permutación]] de los enteros {{nowrap\|[1, ..., ''k'']}}, y ''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x''<sub>''k''</sub> elementos de ''V'', resulta que : <math>x_{\sigma(1)}\wedge x_{\sigma(2)}\wedge\cdots\wedge x_{\sigma(k)} = \operatorname{sgn}(\sigma)x_1\wedge x_2\wedge\cdots \wedge x_k,</math> Línea 177: : <math>\alpha\wedge\beta = (-1)^{kp}\beta\wedge\alpha.</math> Además de estudiar la estructura graduada en el álgebra exterior, {{harvtxt\|Bourbaki\|1989}} estudia estructuras graduadas adicionales en álgebras exteriores, como las del álgebra exterior de un [[álgebra graduada]] (un módulo que ya tiene su propia graduación). === Propiedad universal === Línea 186: </div> [[~~Image~~Imagen:ExteriorAlgebra-01.png\|center\|Propiedad universal del álgebra exterior]] Para construir el álgebra más general que contiene {{math\|''V''}} y cuya multiplicación se alterna en {{math\|''V''}}, es natural comenzar con el álgebra asociativa más general que contiene {{math\|''V''}}, el [[álgebra tensorial]] {{math\|''T''(''V'')}}, y luego hacer cumplir la propiedad alterna tomando un [[Anillo cociente\|cociente]] adecuado. Por lo tanto, se toma el [[Ideal (teoría de anillos)\|ideal]] {{math\|''I''}} de dos lados en {{math\|''T''(''V'')}} generado por todos los elementos de la forma {{math\|''v'' ⊗ ''v''}} para {{math\|''v''}} en {{math\|''V''}}, y se define {{math\|Λ(''V'')}} como el cociente Línea 266: <!-- Alternating form redirects here --> [[~~File~~Archivo:N-form.svg\|thumb\|125px\|Interpretación geométrica para el '''producto exterior''' de ''n'' [[1-forma]]s ('''ε''', '''η''', '''ω''') para obtener una ''n''-forma ("malla" de un [[sistema de coordenadas]], aquí planos),<ref name="Sin-nombre-p2LT-1"/> para {{nowrap\|1=''n'' = 1, 2, 3}}. Las "circulaciones" muestran [[Orientación (espacio vectorial)\|orientación]].<ref>''Nota'': Las orientaciones que se muestran aquí no son correctas; el diagrama simplemente da la sensación de que se define una orientación para cada ''k''-forma.</ref><ref>{{cite book\|title=Gravitation\|url=https://archive.org/details/gravitation00misn_003\|author1=J.A. Wheeler \|author2=C. Misner \|author3=K.S. Thorne \|publisher=W.H. Freeman & Co\|year=1973\|pages=[https://archive.org/details/gravitation00misn_003/page/58 58]–60, 83, 100–109, 115–119\|isbn=0-7167-0344-0}}</ref>]] La discusión anterior se especializa en el caso de {{nowrap\|1=''X'' = ''K''}}, la base del campo. En este caso una función multilineal alterna Línea 288: : <math>{\omega \wedge \eta(x_1,\ldots,x_{k+m})} = \sum_{\sigma \in Sh_{k,m}} \operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)}, \ldots, x_{\sigma(k)}) \eta(x_{\sigma(k+1)}, \ldots, x_{\sigma(k+m)}),</math> donde aquí {{nowrap\|Sh<sub>''k'',''m''</sub> ⊂ ''S''<sub>''k''+''m''</sub>}} es el [[subconjunto]] de los [[(p,q) barajados\|(''k'',''m'') barajados]]: las [[permutación\|permutaciones]] del conjunto ''σ''{{nowrap\|{1, 2, ..., ''k'' + ''m''}}}, tales que {{nowrap\|''σ''(1) < ''σ''(2) < ... < ''σ''(''k'')}} y {{nowrap\|''σ''(''k'' + 1) < ''σ''(''k'' + 2) < ... < ''σ''(''k'' + ''m'')}}. === Producto interno === Línea 327: : <math>i_{\alpha \wedge \beta} = i_\beta \circ i_\alpha .</math> En la configuración geométrica, un elemento distinto de cero de la potencia exterior superior Λ<sup>''n''</sup>(''V'') (que es un espacio vectorial unidimensional) a veces se denomina '''[[forma de volumen]]''' (o '''forma orientada''', aunque este término a veces puede dar lugar a ambigüedad). El término "orientada" proviene del hecho de que la elección del elemento superior preferido determina una orientación de todo el álgebra exterior, ya que equivale a fijar una base ordenada del espacio vectorial. En relación con la forma de volumen preferida ''σ'', el isomorfismo entre un elemento <math>\alpha \in \wedge^k(V^)</math> y su [[dual de Hodge]] viene dado explícitamente por : <math> {\textstyle\bigwedge}^k(V^) \to {\textstyle\bigwedge}^{n-k}(V) : \alpha \mapsto i_\alpha\sigma .</math> Línea 373: : <math>\Delta(x_1\wedge\cdots\wedge x_k) = \sum_{p=0}^k \; \sum_{\sigma\in Sh(p+1,k-p)} \; \operatorname{sgn}(\sigma) (x_{\sigma(0)}\wedge\cdots\wedge x_{\sigma(p)})\otimes (x_{\sigma(p+1)}\wedge\cdots\wedge x_{\sigma(k)}).</math> donde la segunda suma se toma sobre todo [[(p,q) barajados\|{{nowrap\|(''p''+1, ''k''−''p'')}}-barajados]]. Lo anterior se escribe con un truco de notación, para realizar un seguimiento del elemento de campo 1: el truco es escribir <math>x_0=1</math>, y esto se baraja en varias ubicaciones durante la expansión de la suma sobre barajas. El barajado se deduce directamente del primer [[axioma]] de una co-álgebra: el orden relativo de los elementos <math>x_k</math> se ''conserva'' en el ''barajado rápido'', que simplemente divide la secuencia ordenada en dos secuencias ordenadas, una a la izquierda, y otra a la derecha. Obsérvese que el coproducto conserva la calificación del álgebra. Extendiéndose al espacio completo Λ (''V''), se tiene que Línea 388: El '''contador''' es el homomorfismo {{nowrap\|1=''ε'' : Λ(''V'') → ''K''}} que devuelve el componente de grado 0 de su argumento. El coproducto y el recuento, junto con el producto exterior, definen la estructura de una [[biálgebra]] en el álgebra exterior. Con una '''antípoda''' definida en elementos homogéneos por <math>S(x)=(-1)^{\binom{\text{deg}\, x\, +1}{2}}x</math>, el álgebra exterior es además un [[álgebra de Hopf]].<ref>De hecho, el álgebra exterior de ''V'' es el [[~~álgebra~~Álgebra envolvente universal\|álgebra envolvente]] de la estructura abeliana de una [[super álgebra de Lie]] en ''V''.</ref> == Functorialidad == Línea 446: === Álgebra lineal === En aplicaciones relativas al [[álgebra lineal]], el producto exterior proporciona una forma algebraica abstracta para describir el [[determinante (matemática)\|determinante]] y los [[Menor (álgebra lineal)\|menores]] de una [[Matriz (matemáticas)\|matriz]]. Por ejemplo, es bien sabido que el determinante de una [[matriz cuadrada]] es igual al volumen del paraleloótopo cuyos lados son las columnas de la matriz (con un signo para seguir la orientación). Esto sugiere que el determinante se puede ''definir'' en términos del producto exterior de los [[Vector columna\|vectores columna]]. Asimismo, los menores {{nowrap\|''k'' × ''k''}} de una matriz se pueden definir observando los productos exteriores de ''k'' vectores columna elegidos a la vez. Estas ideas pueden extenderse no solo a matrices, sino también a [[aplicación lineal\|aplicaciones lineales]]: el determinante de una transformación lineal es el factor por el cual se escala el volumen orientado de cualquier paralelotopo de referencia dado. Entonces, el determinante de una transformación lineal se puede definir en términos de lo que la transformación le hace a la potencia exterior superior. La acción de una transformación sobre las potencias exteriores menores da una forma independiente de las [[Base (álgebra)\|bases]] de hablar sobre los menores de la transformación. ==== Detalles técnicos: Definiciones ==== Línea 479: : Sin embargo, no hay isomorfismo canónico entre <math>{\textstyle\bigwedge}^k V</math> y <math>{\textstyle\bigwedge}^{n-k} V.</math> * <math>\operatorname{Tr} \left ({\textstyle\bigwedge}^k A \right ) = {\textstyle\bigwedge}^n A^k.</math> Las entradas de la [[matriz transpuesta]] de <math>{\textstyle\bigwedge}^k A</math> son <math>k \times k</math>-menores de <math>A</math>. * <math>\forall k \leqslant n-1, p \leqslant k, A \in \operatorname{End}(V),</math> Línea 503: ==== Algoritmo de Leverrier ==== {{VT\|Algoritmo de Faddeev–LeVerrier}} <math>{\textstyle\bigwedge}^n A^k</math> son los coeficientes de los términos <math>(-t)^{n-k}</math> en el [[polinomio característico]]. También aparecen en las expresiones de <math display="inline">\left({\textstyle\bigwedge}^{n-1} A^p\right)^\mathrm{T}</math> y <math>{\textstyle\bigwedge}^n (\operatorname{adj} A)^k</math>. El algoritmo<ref>W.Kahan (2009), ''Jordan's normal form''. https://www.cs.berkeley.edu/~wkahan/MathH110/jordan.pdf</ref> de Leverrier es una forma económica de calcular <math>{\textstyle\bigwedge}^n A^k</math> y <math>{\textstyle\bigwedge}^{n-1} A^k</math>: :: Establecer <math>{\textstyle\bigwedge}^{n-1} A^0 = 1</math>; Línea 515: === Física === {{AP\|Tensor de campo electromagnético}} En física, muchas cantidades se representan naturalmente mediante operadores alternos. Por ejemplo, si el movimiento de una partícula cargada se describe mediante vectores de velocidad y aceleración en el [[espacio-tiempo]] de cuatro dimensiones, entonces la normalización del vector de velocidad requiere que la fuerza electromagnética sea un operador alterno de la velocidad. Sus seis grados de libertad se identifican con los campos eléctrico y magnético. === Geometría lineal === Línea 552: Este concepto se refiere más generalmente a una teoría algebraica (o axiomática) de cantidades extendidas y fue uno de los primeros precursores de la noción moderna de [[espacio vectorial]]. [[Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant\|Saint-Venant]] también publicó ideas similares de cálculo exterior por las que reclamó la prioridad sobre Grassmann.<ref>J Itard, Biography in Dictionary of Scientific Biography (New York 1970–1990).</ref> El álgebra en sí se construyó a partir de un conjunto de reglas, o axiomas, que capturan los aspectos formales de la teoría de los multivectores de Cayley y Sylvester. Por lo tanto, era un ''cálculo'', muy parecido a la [[lógica proposicional]], excepto en que se enfocaba exclusivamente en la tarea del razonamiento formal en términos geométricos.<ref>En el pasado, los autores se han referido a este cálculo de diversas formas como ''cálculo de extensión'' ({{harvnb\|Whitehead\|1898}}; {{harvnb\|Forder\|1941}}) o "álgebra extensiva" {{harv\|Clifford\|1878}}, y recientemente como ''álgebra vectorial extendida''. {{harv\|Browne\|2007}}.</ref> En particular, este nuevo desarrollo permitió una caracterización ''axiomática'' de la dimensión, una propiedad que antes solo había sido examinada desde el punto de vista de las coordenadas. La importancia de esta nueva teoría de vectores y [[multivector]]es se perdió para los matemáticos de mediados del {{siglo \|XIX\|\|s}},<ref>{{harvnb\|Bourbaki\|1989\|p=661}}.</ref> hasta ser examinada a fondo por [[Giuseppe Peano]] en 1888. El trabajo de Peano también permaneció algo oscuro hasta el cambio de siglo, cuando el tema fue unificado por miembros de la escuela de geometría francesa (notablemente [[Henri Poincaré]], [[Élie Cartan]] y [[Jean Gaston Darboux]]) que aplicaron las ideas de Grassmann al cálculo de [[forma diferencial\|formas diferenciales]]. Poco tiempo después, [[Alfred North Whitehead]], tomando prestadas las ideas de Peano y Grassmann, presentó su [[álgebra universal]]. Esto allanó el camino para los desarrollos del [[álgebra abstracta]] en el {{siglo \|XX\|\|s}} al colocar la noción axiomática de un sistema algebraico sobre una base lógica firme. == Véase también == Línea 573: * {{citation \|last1=Bishop \|first1=R. \|author1-link=Richard L. Bishop \|last2=Goldberg \|first2=S. I. \|year=1980 \|title=Tensor analysis on manifolds \|publisher=Dover \|isbn=0-486-64039-6 \|url-access=registration \|url=https://archive.org/details/tensoranalysison00bish }} : Incluye un tratamiento de tensores alternos y formas alternas, así como una discusión detallada de la dualidad de Hodge desde la perspectiva adoptada en este artículo. * {{cita publicación \| apellidos=Astrophysics Group, Cavendish Laboratory \| nombre=Cambridge \| título=Álgebra del Espacio-Tiempo (Álgebra Geométrica, Clifford y Grassman) \| fecha=2005 \| pages=1–116 \| publicación= arXiv:0509178 \| url=https://www.academia.edu/105276251/%C3%81lgebra_del_Espacio_Tiempo_y_F%C3%ADsica_de_Electrones_%C3%81lgebra_Geom%C3%A9trica_Clifford_y_Grassman_ \| idioma=Español }} (Texto en español) * {{citation \|last=Bourbaki \|first=Nicolas \|author-link=Nicolas Bourbaki \|year=1989 \|title=Elements of mathematics, Algebra I \|publisher=Springer-Verlag \|isbn=3-540-64243-9}} : Esta es la "principal referencia matemática" del artículo. Introduce el álgebra exterior de un módulo sobre un anillo conmutativo (aunque este artículo se especializa principalmente en el caso en el que el anillo es un campo), incluida una discusión de la propiedad universal, la funcionalidad, la dualidad y la estructura bialgebraica. Consulte §III.7 y §III.11. Línea 593 ⟶ 594: == Lecturas relacionadas == <!--For works inessential to the article, though these may also have been referenced in passing.--> * {{citation \|last=Browne \|first=J. M. \|year=2007 \|title=Grassmann algebra – Exploring applications of Extended Vector Algebra with Mathematica \|url=http://www.grassmannalgebra.info/grassmannalgebra/book/index.htm \|fechaacceso=25 de enero de 2021 \|fechaarchivo=19 de febrero de 2009 \|urlarchivo=https://web.archive.org/web/20090219180241/http://grassmannalgebra.info/grassmannalgebra/book/index.htm \|deadurl=yes }} : Una introducción al álgebra exterior y al [[álgebra geométrica]], con un enfoque en aplicaciones. También incluye una sección de historia y bibliografía. * {{citation \|last=Spivak \|first=Michael \|author-link=Michael Spivak \|year=1965 \|title=Calculus on manifolds \|publisher=Addison-Wesley \|isbn=978-0-8053-9021-6}} Línea 601 ⟶ 602: * {{springer\|id=E/e037080\|title=Exterior algebra\|author=Onishchik, A.L.}} * Wendell H. Fleming (1965) '' Funciones de varias variables '', [[Addison-Wesley]]. : Capítulo 6: Álgebra exterior y [[cálculo diferencial]], páginas 205–38. Este libro de texto sobre [[cálculo multivariable]] introduce hábilmente el álgebra exterior de formas diferenciales en la secuencia de cálculo para universidades. * {{citation \|last=Winitzki \|first=S. \|year=2010 \|title=Linear Algebra via Exterior Products \|url=http://sites.google.com/site/winitzki/linalg}} : Una introducción al enfoque sin coordenadas en álgebra lineal básica de dimensión finita, utilizando productos exteriores. Línea 618 ⟶ 619: {{Control de autoridades}} [[Categoría:Álgebras asociativas]] [[Categoría:Álgebra multilineal]]