تبدیل سفیدکننده: تفاوت میان نسخه‌ها

محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده

درخط

نسخهٔ کنونی تا ‏۲ نوامبر ۲۰۲۲، ساعت ۱۰:۱۹

تبدیل سفیدکننده یا تبدیل کروی یک تبدیل خطی است که بردار متغیرهای تصادفی با ماتریس کوواریانس شناخته شده را به مجموعه ای از متغیرهای جدید تبدیل می‌کند که کوواریانس آنها ماتریس همانی است، به این معنی که آنها همبستگی ندارند و هر کدام دارای واریانس ۱ هستند.^[۱] این تبدیل «سفیدکننده» نامیده می‌شود زیرا بردار ورودی را به بردار نویز سفید تغییر می‌دهد.

چندین تغییر دیگر با سفید کردن رابطه نزدیک دارند:

تبدیل همبستگی زدایی فقط همبستگی‌ها را حذف می‌کند اما واریانس‌ها را دست نخورده باقی می‌گذارد،
تبدیل استانداردسازی واریانس‌ها را روی ۱ تنظیم می‌کند اما همبستگی‌ها را دست نخورده باقی می‌گذارد.
یک تبدیل رنگ آمیزی یک بردار از متغیرهای تصادفی سفید را به یک بردار تصادفی با یک ماتریس کوواریانس مشخص تبدیل می‌کند.^[۲]

تعریف[ویرایش]

فرض کنید $X$ یک بردار تصادفی (ستونی) با ماتریس کوواریانس غیر منفرد $\Sigma$ و میانگین $0$ است. آنگاه تبدیل $Y=WX$ با ماتریس سفید کننده $W$ به شرط ـآنکه $W^{\mathrm {T} }W=\Sigma ^{-1}$ باشد، بردار تصادفی سفید شده $Y$ با ماتریس کواریانس همانی را به دست می‌دهد.

ماتریس‌های سفید کننده بی‌نهایت زیادی وجود دارد $W$ که همگی شرایط فوق را برآورده کنند. انتخاب‌های رایج این‌ها هستند: $W=\Sigma ^{-1/2}$ (سفید کننده ماهالانوبیس یا ZCA)

$W=L^{T}$ که $L$ است تجزیه Cholesky از $\Sigma ^{-1}$ است. (Cholesky whitening),^[۳] یا سیستم ویژه از $\Sigma$ (سفید کننده PCA).^[۴]

تبدیل‌های سفیدکننده بهینه را می‌توان با بررسی کوواریانس متقاطع و همبستگی متقاطع $X$ و $Y$ مشخص کرد.^[۳] به عنوان مثال، تبدیل منحصر به فرد سفید کننده بهینه که به حداکثر همبستگی از نظر مؤلفه بین $X$ اولیه و $Y$ سفید شده دست می‌یابد، توسط ماتریس سفید کننده $W=P^{-1/2}V^{-1/2}$ تولید می‌شود. در این عبارت $P$ ماتریس همبستگی است و $V$ ماتریس واریانس است.

سفید کردن ماتریس داده[ویرایش]

سفید کردن یک ماتریس داده همان روند متغیرهای تصادفی را دنبال می‌کند. یک تبدیل سفیدکننده تجربی با تخمین کوواریانس (مثلاً با برآورد درست‌نمایی بیشینه) و سپس ساختن یک ماتریس سفیدکننده تخمینی متناظر با آن (مثلاً با تجزیه Cholesky) به دست می‌آید.

پیاده‌سازی R[ویرایش]

پیاده‌سازی چندین روش سفیدکننده در R، از جمله روش ZCA, PCA و همچنین سفید کردن CCA، در بستهٔ "whitening" زبان R موجود است^[۵] و در CRAN منتشر شده‌است.

جستارهای وابسته[ویرایش]

همبستگی زدایی
تجزیه و تحلیل مؤلفه‌های اصلی
حداقل مربعات وزن دار
همبستگی متعارف

منابع[ویرایش]

↑ Koivunen, A.C.; Kostinski, A.B. (1999). "The Feasibility of Data Whitening to Improve Performance of Weather Radar". Journal of Applied Meteorology. 38 (6): 741–749. Bibcode:1999JApMe..38..741K. doi:10.1175/1520-0450(1999)038<0741:TFODWT>2.0.CO;2. ISSN 1520-0450.
↑ Hossain, Miliha. "Whitening and Coloring Transforms for Multivariate Gaussian Random Variables". Project Rhea. Retrieved 21 March 2016.
↑ ^۳٫۰ ^۳٫۱ Kessy, A.; Lewin, A.; Strimmer, K. (2018). "Optimal whitening and decorrelation". The American Statistician. 72 (4): 309–314. arXiv:1512.00809. doi:10.1080/00031305.2016.1277159. خطای یادکرد: برچسب <ref> نامعتبر؛ نام «kessy» چندین بار با محتوای متفاوت تعریف شده است. (صفحهٔ راهنما را مطالعه کنید.).
↑ Friedman, J. (1987). "Exploratory Projection Pursuit". Journal of the American Statistical Association. 82 (397): 249–266. doi:10.1080/01621459.1987.10478427. ISSN 0162-1459. JSTOR 2289161.
↑ "whitening R package". Retrieved 2018-11-25.

پیوند به بیرون[ویرایش]

http://courses.media.mit.edu/2010fall/mas622j/whiten.pdf
تبدیل سفیدکننده ZCA ضمیمه A آموزش چندین لایه ویژگی از تصاویر کوچک توسط A. Krizhevsky.

[1] Koivunen, A.C.; Kostinski, A.B. (1999). "The Feasibility of Data Whitening to Improve Performance of Weather Radar". Journal of Applied Meteorology. 38 (6): 741–749. Bibcode:1999JApMe..38..741K. doi:10.1175/1520-0450(1999)038<0741:TFODWT>2.0.CO;2. ISSN 1520-0450.

[2] Hossain, Miliha. "Whitening and Coloring Transforms for Multivariate Gaussian Random Variables". Project Rhea. Retrieved 21 March 2016.

[kessy-3] ۳٫۰ ^۳٫۱ Kessy, A.; Lewin, A.; Strimmer, K. (2018). "Optimal whitening and decorrelation". The American Statistician. 72 (4): 309–314. arXiv:1512.00809. doi:10.1080/00031305.2016.1277159. خطای یادکرد: برچسب <ref> نامعتبر؛ نام «kessy» چندین بار با محتوای متفاوت تعریف شده است. (صفحهٔ راهنما را مطالعه کنید.).

[4] Friedman, J. (1987). "Exploratory Projection Pursuit". Journal of the American Statistical Association. 82 (397): 249–266. doi:10.1080/01621459.1987.10478427. ISSN 0162-1459. JSTOR 2289161.

[5] "whitening R package". Retrieved 2018-11-25.

[۱]

[۲]

[۳]

[۴]

[۵]

@@ خط ۱: / خط ۱: @@
-'''تبدیل سفیدکننده''' یا '''تبدیل کروی''' یک [[نگاشت خطی|تبدیل خطی]] است که بردار [[متغیر تصادفی|متغیرهای تصادفی]] با [[ماتریس کوواریانس]] شناخته شده را به مجموعه ای از متغیرهای جدید تبدیل می کند که کوواریانس آنها [[ماتریس همانی]] است، به این معنی که آنها [[ناهمبسته|همبستگی]] ندارند و هر کدام دارای [[واریانس]] 1 هستند. <ref>{{Cite journal|last=Koivunen|first=A.C.|last2=Kostinski|first2=A.B.|year=1999|title=The Feasibility of Data Whitening to Improve Performance of Weather Radar|url=https://digitalcommons.mtu.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1279&context=physics-fp|journal=Journal of Applied Meteorology|volume=38|issue=6|pages=741–749|bibcode=1999JApMe..38..741K|doi=10.1175/1520-0450(1999)038<0741:TFODWT>2.0.CO;2|issn=1520-0450}}</ref> این تبدیل "سفیدکننده" نامیده می شود زیرا بردار ورودی را به بردار [[نویز سفید]] تغییر می دهد.
+'''تبدیل سفیدکننده''' یا '''تبدیل کروی''' یک [[نگاشت خطی|تبدیل خطی]] است که بردار [[متغیر تصادفی|متغیرهای تصادفی]] با [[ماتریس کوواریانس]] شناخته شده را به مجموعه ای از متغیرهای جدید تبدیل می‌کند که کوواریانس آنها [[ماتریس همانی]] است، به این معنی که آنها [[ناهمبسته|همبستگی]] ندارند و هر کدام دارای [[واریانس]] ۱ هستند.<ref>{{Cite journal|last=Koivunen|first=A.C.|last2=Kostinski|first2=A.B.|year=1999|title=The Feasibility of Data Whitening to Improve Performance of Weather Radar|url=https://digitalcommons.mtu.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1279&context=physics-fp|journal=Journal of Applied Meteorology|volume=38|issue=6|pages=741–749|bibcode=1999JApMe..38..741K|doi=10.1175/1520-0450(1999)038<0741:TFODWT>2.0.CO;2|issn=1520-0450}}</ref> این تبدیل «سفیدکننده» نامیده می‌شود زیرا بردار ورودی را به بردار [[نویز سفید]] تغییر می‌دهد.
 چندین تغییر دیگر با سفید کردن رابطه نزدیک دارند:
+# '''تبدیل همبستگی زدایی''' فقط همبستگی‌ها را حذف می‌کند اما واریانس‌ها را دست نخورده باقی می‌گذارد،
-# '''تبدیل همبستگی زدایی''' فقط همبستگی ها را حذف می کند اما واریانس ها را دست نخورده باقی می گذارد،
+# '''تبدیل استانداردسازی''' واریانس‌ها را روی ۱ تنظیم می‌کند اما همبستگی‌ها را دست نخورده باقی می‌گذارد.
+# یک '''تبدیل رنگ آمیزی''' یک بردار از متغیرهای تصادفی سفید را به یک بردار تصادفی با یک ماتریس کوواریانس مشخص تبدیل می‌کند.<ref>{{Cite web|last=Hossain|first=Miliha|title=Whitening and Coloring Transforms for Multivariate Gaussian Random Variables|url=https://www.projectrhea.org/rhea/index.php/ECE662_Whitening_and_Coloring_Transforms_S14_MH|publisher=Project Rhea|accessdate=21 March 2016}}</ref>
-# '''تبدیل استانداردسازی''' واریانس ها را روی 1 تنظیم می کند اما همبستگی ها را دست نخورده باقی می گذارد.
-# یک '''تبدیل رنگ آمیزی''' یک بردار از متغیرهای تصادفی سفید را به یک بردار تصادفی با یک ماتریس کوواریانس مشخص تبدیل می کند. <ref>{{Cite web|last=Hossain|first=Miliha|title=Whitening and Coloring Transforms for Multivariate Gaussian Random Variables|url=https://www.projectrhea.org/rhea/index.php/ECE662_Whitening_and_Coloring_Transforms_S14_MH|publisher=Project Rhea|accessdate=21 March 2016}}</ref>
 == تعریف ==
-فرض کنید <math>X</math> یک [[بردار تصادفی|بردار تصادفی (ستونی)]] با ماتریس کوواریانس غیر منفرد  <math>\Sigma</math> و میانگین <math>0</math> است. آنگاه تبدیل <math>Y = W X</math> با '''ماتریس سفید کننده''' <math>W</math> به شرط ـآنکه <math>W^\mathrm{T} W = \Sigma^{-1}</math> باشد، بردار تصادفی سفید شده <math>Y</math> با [[ماتریس کواریانس]] [[ماتریس همانی|همانی]] را به دست می دهد.
+فرض کنید <math>X</math> یک [[بردار تصادفی|بردار تصادفی (ستونی)]] با ماتریس کوواریانس غیر منفرد  <math>\Sigma</math> و میانگین <math>0</math> است. آنگاه تبدیل <math>Y = W X</math> با '''ماتریس سفید کننده''' <math>W</math> به شرط ـآنکه <math>W^\mathrm{T} W = \Sigma^{-1}</math> باشد، بردار تصادفی سفید شده <math>Y</math> با [[ماتریس کواریانس]] [[ماتریس همانی|همانی]] را به دست می‌دهد.
-ماتریس های سفید کننده بی نهایت زیادی وجود دارد <math>W</math> که همگی شرایط فوق را برآورده کنند. انتخاب های رایج این ها هستند: <math>W = \Sigma^{-1/2}</math> (سفید کننده ماهالانوبیس یا ZCA)
+ماتریس‌های سفید کننده بی‌نهایت زیادی وجود دارد <math>W</math> که همگی شرایط فوق را برآورده کنند. انتخاب‌های رایج این‌ها هستند: <math>W = \Sigma^{-1/2}</math> (سفید کننده ماهالانوبیس یا ZCA)
+<math>W = L^T</math> که <math>L</math> است [[تجزیه چولیسکای|تجزیه Cholesky]] از <math> \Sigma^{-1}</math> است. (Cholesky whitening),<ref name="kessy">{{Cite journal|last=Kessy|first=A.|last2=Lewin|first2=A.|last3=Strimmer|first3=K.|year=2018|title=Optimal whitening and decorrelation|journal=The American Statistician|volume=72|issue=4|pages=309–314|arxiv=1512.00809|doi=10.1080/00031305.2016.1277159}}</ref> یا سیستم ویژه از <math>\Sigma</math> (سفید کننده PCA).<ref>{{Cite journal|last=Friedman|first=J.|year=1987|title=Exploratory Projection Pursuit|url=https://archive.org/details/sim_journal-of-the-american-statistical-association_1987-03_82_397/page/249|journal=Journal of the American Statistical Association|volume=82|issue=397|pages=249–266|doi=10.1080/01621459.1987.10478427|issn=0162-1459|jstor=2289161}}</ref>
-<math>W = L^T</math> که <math>L</math> است [[تجزیه چولیسکای|تجزیه Cholesky]] از <math> \Sigma^{-1}</math> است. (Cholesky whitening)،
-<ref name="kessy">{{Cite journal|last=Kessy|first=A.|last2=Lewin|first2=A.|last3=Strimmer|first3=K.|year=2018|title=Optimal whitening and decorrelation|journal=The American Statistician|volume=72|issue=4|pages=309–314|arxiv=1512.00809|doi=10.1080/00031305.2016.1277159}}</ref> یا سیستم ویژه از <math>\Sigma</math> (سفید کننده PCA). <ref>{{Cite journal|last=Friedman|first=J.|year=1987|title=Exploratory Projection Pursuit|journal=Journal of the American Statistical Association|volume=82|issue=397|pages=249–266|doi=10.1080/01621459.1987.10478427|issn=0162-1459|jstor=2289161}}</ref>
+تبدیل‌های سفیدکننده بهینه را می‌توان با بررسی کوواریانس متقاطع و همبستگی متقاطع <math>X</math> و <math>Y</math> مشخص کرد.<ref name="kessy">{{Cite journal|last=Kessy|first=A.|last2=Lewin|first2=A.|last3=Strimmer|first3=K.|year=2018|title=Optimal whitening and decorrelation|journal=The American Statistician|volume=72|issue=4|pages=309–314|arxiv=1512.00809|doi=10.1080/00031305.2016.1277159}}<cite class="citation journal cs1" data-ve-ignore="true" id="CITEREFKessyLewinStrimmer2018">Kessy, A. ; Lewin, A. ; Strimmer, K. (2018). "Optimal whitening and decorrelation". ''The American Statistician''. '''72''' (4): 309–314. [[آرکایو (وبسایت)|arXiv]]:<span class="cs1-lock-free" title="Freely accessible">[//arxiv.org/abs/1512.00809 1512.00809]</span>. [[نشانگر دیجیتالی شیء|doi]]:[[doi:10.1080/00031305.2016.1277159|10.1080/00031305.2016.1277159]].</cite></ref> به عنوان مثال، تبدیل منحصر به فرد سفید کننده بهینه که به حداکثر همبستگی از نظر مؤلفه بین <math>X</math> اولیه و <math>Y</math> سفید شده دست می‌یابد، توسط ماتریس سفید کننده <math>W = P^{-1/2} V^{-1/2}</math> تولید می‌شود. در این عبارت <math>P</math> ماتریس همبستگی است و <math>V</math> ماتریس واریانس است.
-تبدیل‌های سفیدکننده بهینه را می‌توان با بررسی کوواریانس متقاطع و همبستگی متقاطع <math>X</math> و <math>Y</math> مشخص کرد. <ref name="kessy">{{Cite journal|last=Kessy|first=A.|last2=Lewin|first2=A.|last3=Strimmer|first3=K.|year=2018|title=Optimal whitening and decorrelation|journal=The American Statistician|volume=72|issue=4|pages=309–314|arxiv=1512.00809|doi=10.1080/00031305.2016.1277159}}<cite class="citation journal cs1" data-ve-ignore="true" id="CITEREFKessyLewinStrimmer2018">Kessy, A.; Lewin, A.; Strimmer, K. (2018). "Optimal whitening and decorrelation". ''The American Statistician''. '''72''' (4): 309–314. [[آرکایو (وبسایت)|arXiv]]:<span class="cs1-lock-free" title="Freely accessible">[//arxiv.org/abs/1512.00809 1512.00809]</span>. [[نشانگر دیجیتالی شیء|doi]]:[[doi:10.1080/00031305.2016.1277159|10.1080/00031305.2016.1277159]].</cite></ref> به عنوان مثال، تبدیل منحصر به فرد سفید کننده بهینه که به حداکثر همبستگی از نظر مؤلفه بین <math>X</math> اولیه و <math>Y</math> سفید شده دست می یابد، توسط ماتریس سفید کننده <math>W = P^{-1/2} V^{-1/2}</math> تولید می شود.  در این عبارت <math>P</math> ماتریس همبستگی است و <math>V</math> ماتریس واریانس است.
 == سفید کردن ماتریس داده ==
-سفید کردن یک ماتریس داده همان روند متغیرهای تصادفی را دنبال می کند. یک تبدیل سفیدکننده تجربی با [[برآورد ماتریس های کوواریانس|تخمین کوواریانس]] (مثلاً با [[برآورد درست‌نمایی بیشینه]] ) و سپس ساختن یک ماتریس سفیدکننده تخمینی متناظر با آن (مثلاً با [[تجزیه چولیسکای|تجزیه Cholesky]] ) به دست می‌آید.
+سفید کردن یک ماتریس داده همان روند متغیرهای تصادفی را دنبال می‌کند. یک تبدیل سفیدکننده تجربی با [[برآورد ماتریس‌های کوواریانس|تخمین کوواریانس]] (مثلاً با [[برآورد درست‌نمایی بیشینه]]) و سپس ساختن یک ماتریس سفیدکننده تخمینی متناظر با آن (مثلاً با [[تجزیه چولیسکای|تجزیه Cholesky]]) به دست می‌آید.
-== پیاده سازی R ==
+== پیاده‌سازی R ==
-پیاده سازی چندین روش سفیدکننده در [[آر (زبان برنامه‌نویسی)|R]] ، از جمله روش ZCA، PCA و همچنین [[همبستگی متعارف|سفید کردن CCA]] ، در بسته ی "whitening" زبان R موجود است<ref>{{Cite web|url=https://cran.r-project.org/package=whitening|title=whitening R package|accessdate=2018-11-25}}</ref> و در [[آر (زبان برنامه‌نویسی)|CRAN]] منتشر شده است.
+پیاده‌سازی چندین روش سفیدکننده در [[آر (زبان برنامه‌نویسی)|R]]، از جمله روش ZCA, PCA و همچنین [[همبستگی متعارف|سفید کردن CCA]]، در بستهٔ "whitening" زبان R موجود است<ref>{{Cite web|url=https://cran.r-project.org/package=whitening|title=whitening R package|accessdate=2018-11-25}}</ref> و در [[آر (زبان برنامه‌نویسی)|CRAN]] منتشر شده‌است.
+== جستارهای وابسته ==
-== همچنین ببینید ==
+* [[همبستگی|همبستگی زدایی]]
+* [[تحلیل مؤلفه‌های اصلی|تجزیه و تحلیل مؤلفه‌های اصلی]]
-* [[همبستگی|همبستگی زدایی]]
-* [[تحلیل مؤلفه‌های اصلی|تجزیه و تحلیل مؤلفه های اصلی]]
 * حداقل مربعات وزن دار
 * همبستگی متعارف
 == منابع ==
-{{پانویس}}
+{{پانویس|۲}}
-== لینک های خارجی ==
+== پیوند به بیرون ==
 * http://courses.media.mit.edu/2010fall/mas622j/whiten.pdf
 * [http://www.cs.toronto.edu/~kriz/learning-features-2009-TR.pdf تبدیل سفیدکننده ZCA] ضمیمه A ''آموزش چندین لایه ویژگی از تصاویر کوچک'' توسط A. Krizhevsky.
-[[رده:مقاله‌های دارای کد نمونه به زبان پایتون]]
 [[رده:الگوریتم‌های دسته‌بندی]]
+[[رده:مقاله‌های دارای کد نمونه به زبان پایتون]]