Homotopia

Topologiassa kahden jatkuvan funktion sanotaan olevan homotooppisia keskenään, jos ne voidaan muuntaa jatkuvalla kuvauksella toisikseen. Homotopian avulla voidaan määrittää homotopia- ja kohomotopiaryhmiä, jotka ovat tärkeitä käsitteitä algebrallisessa topologiassa.

Kaksi vahvennettua polkua ovat keskenään homotooppiset. Kuva havainnollistaa, kuinka ne voidaan muuntaa jatkuvalla kuvauksella toisikseen.

Matemaattinen määritelmä

Kahden jatkuvan funktion $f:X\to Y$ ja $g:X\to Y$ välinen homotopia on jatkuva funktio $H:X\times [0,1]\to Y$ siten, että $H(x,0)=f(x)$ ja $H(x,1)=g(x)$. Tällöin kuvauksia $f$ ja $g$ kutsutaan homotopia ekvivalenteiksi tai vain homotooppisiksi keskenään. Jos kuvauksen H toinen parametri ajatellaan olevan aikaparametri, voidaan H:ta ajatella funktiona, joka näyttää kullakin ajan hetkellä tietyn välivaiheen, kun kuvausta f ollaan muuttamassa kuvaukseksi g.

Ominaisuuksia

Homotooppisuus on ekvivalenssirelaatio jatkuvien funktioiden joukossa X:ltä Y:lle. Tämä homotopiarelaatio on yhteensopiva funktioiden yhdistämisen kanssa seuraavassa mielessä: Jos $f_{1}$ ja $g_{1}:X\to Y$ ovat homotooppisia ja $f_{1},g_{2}:Y\to Z$ ovat homotooppisia, on näiden yhdistetyt kuvaukset $f_{2}\circ f_{1}$ ja $g_{2}\circ g_{1}:X\to Y$ myös homotooppisia.

Jos f ja g X:ltä Y:lle ovat homotooppisia, tällöin f:n ja g:n indusoimat ryhmähomomorfismit homologiaryhmien välille ovat samat: $H_{n}(f)=H_{n}(g):H_{n}(X)\to H_{n}(y)$ kaikilla n (tämä on itse asiassa yksi Eilenbergin–Steenrodin aksioomista homologiateorioille). Jos erityisesti X ja Y ovat polkuyhtenäisiä, kuvaukset f ja g indusoivat saman ryhmähomomorfismin homotopiaryhmien välille: $\pi _{n}(f)=\pi _{n}(g):\pi _{n}(X)\to \pi _{n}(y)$.

Tämä kuvastaa sitä miksi algebrallisessa topologiassa avaruudet joudutaan usein erottelemaan vain niiden homotopialuokkien mukaan.

Isotopia

Siinä missä homotopia vie jatkuvalla muunnoksella toisen jatkuvan kuvauksen toiselle, isotopia vie toisen upotuksen toiselle, niin että joka vaiheessa kuvaus on upotus.

Määritelmä

Upotukset $f,g\colon Y\to X$ ovat isotooppisia, jos on olemassa upotus $H\colon Y\times I\to X\times I$ siten että $H(x,t)=(h(x,t),t)$, $H(x,0)=(f(x),0)$ ja $H(x,1)=g(x)$.