Kaaosteoria

Kaaosteoria on matematiikkaa ja fysiikkaa yhdistävä tutkimusala, joka käsittelee tiettyjen ei-lineaaristen dynaamisten järjestelmien käyttäytymistä, jotka ilmenevät kaoottisina ja ovat äärimmäisen herkkiä pienillekin muutoksille alkuolosuhteissa (perhosvaikutus). Esimerkkejä sellaisista järjestelmistä tavataan ilmakehän dynamiikasta, aurinkokunnasta, laattatektoniikassa, pyörteisissä nesteissä, taloudessa, populaation kasvussa ja lääketieteessä.

Kaaosteorian mukaan todellisuus tulee ymmärtää dynaamiseksi, monimuotoiseksi ja ennustamattomaksi. Systeemin kaoottisuudelle on ominaista, että systeemin lopputulosta ei voida ennustaa systeemin alkutilasta. Olennaista kaaoksessa on säännöllisyyden puuttuminen siinä mielessä kuin se ilmenee klassisessa luonnontieteessä: jaksoittaisina liikeratoina ja alkuehdoista riittävällä tarkkuudella ennustettavina lopputuloksina.

Matemaattinen kaaos on täysin deterministinen, ennalta määrätty. Yleisessä kielenkäytössä kaaos ja kaaosteoria sekoitetaan usein täyteen "kaaokseen" tai "epäjärjestykseen", satunnaisuuteen, joka on epälainalaisen järjestelmän tulos.

Matemaattisesti kaoottinen järjestelmä voisi olla täysin ennustettavissa, jos alkuarvot ja prosessi tunnettaisiin täysin tarkkaan. Käytännössä alkuarvo- ja laskentatarkkuus rajoittaa ennustushorisonttia ja lyhyessä ajassa järjestelmä tulee täysin ennustamattomaksi.

Esimerkki 1

Esimerkiksi yksinkertainen rekursioyhtälö

$x_{n+1}=x_{n}(4-x_{n})\,$

on deterministinen, mutta myös kaoottinen ja alkuarvoherkkä. Lähtöarvot ja tulos kuuluvat väliin [0,4]. (Epästabiileina kiintopisteinä ovat 0 ja 3). Jos x₀:sta lähdetään ja lasketaan, niin tavallinen laskin tulostaa roskaa jo 30–40:n iteraation jälkeen, tietokoneohjelmalla 20:n desimaalinkin tarkkuudella jo 55:n iteraation jälkeen. Lähtöarvossa oleva virhe keskimäärin kaksinkertaistuu jokaista iteraatiota kohti.

Taulukko 1. Iteraatioita kolmella hiukan toisistaan poikkeavalla alkuarvolla.

       a             b              c          c-a = virhe
x0=  0,5          0,501        0,500001           1E-6
x1   1,75         1,752999     1,750003           3E-6
x2   3,9375       3,938990506  3,9375015          1,5E-6
x3   0,24609375   0,240315818  0,246087938       -5,8E-6
x4   0,923812866  0,903511578  0,923792477      -20E-6
x5   2,841821253  2,797713141  2,841777368      -44E-6
x6   3,291336978  3,363653744  3,291410864       73E-6
x7   2,33244881   2,140448465  2,332257981     -190E-6
x8   3,889477789  3,980274229  3,889604634      127E-6
x9   0,429873685  0,07851398   0,429394328     -479E-6
x10  1,534703356  0,307891473  1,533197823    -1505E-6
x11  3,783499033  1,136768734  3,782095727    -1403E-6
x12  0,8191312       ..        0,824134818     5004E-6
x13  2,605548876               2,617341075    11792E-6
x14  3,633310558               3,618889998   -14421E-6
x15  1,33229662                1,379195176    46899E-6
x16  3,554172197               3,61460137    0,06
x17  1,584548783               1,393062416  -0,191
x18  3,827400287               3,631626769  -0,196
x19  0,660608193               1,337794087   0,677
x20  2,206029587               3,561483329   1,355
      .....                         ....        ...

Nähdään, että kuuden numeron tarkkuudella ei päästä 20 askelta pitemmälle. Itse asiassa laskettaessa esimerkiksi arvoa x₁₀₀ se vastaa sitä, että laskettaisiin 101-terminen 2¹⁰⁰:n asteen jättimäinen polynomi, jonka arvot (ja reaalijuuret) sijoittuvat välille 0..4, kun argumenttina on kyseiselle välille sijoittuva luku.

Esimerkki 2

Tarkastellaan yhtälöä

$x_{n+1}=x_{n}^{2}+C\,$

Tämä on parametrin C ansiosta edellistä yleisempi tapaus.

Jos parametri C on suurempi kuin −1,402, niin raja-arvoa lähestyttäessä huomataan 2,4,8,16,... jakson haarautumisia eli bifurkaatioita, joiden haarautumiskohtien suhde lähenee tunnettua Feigenbaumin vakiota 4,6692016091...

Jos C on rajaa C_∞ = −1,402... pienempi, niin tulos on täysin kaoottinen kuten esimerkissä 1.

Silti molempien esimerkkien yhtälöt ovat deterministisiä: jokainen x_n:n arvo on matemaattisesti katsoen täysin määrätty millä tahansa alkuarvolla x₀.

Kirjallisuutta

• Aula, P. 1999. Organisaation kaaos vai kaaoksen organisaatio? Dynaamisen organisaatioviestinnän teoria. Akateeminen väitöskirja. Helsinki: Loki-Kirjat.
• Gleick, James: Kaaos. ((Chaos: Making a New Science, 1987). Tarkistettu laitos) Suomentanut Raimo Keskinen. Helsingissä: Art House, 2013. ISBN 978-951-884-497-9
• Gribbin, John: Syvä yksinkertaisuus: Kaaos, kompleksisuus ja elämän synty. (Deep Simplicity: Chaos, Complexity and the Emergence of Life, 2004) Suomentanut Arja Hokkanen. Helsinki: Ursa, 2005. ISBN 952-5329-41-0
• Hayles, N. K. 1991. Chaos and Order. Chicago: University of Chicago Press.
• Kiel, L. D. 1994. Managing Chaos and Complexity in Government. Jossey-Bass: San Francisco.
• Lorenz, E. 1963. ”Deterministic non periodic flow.” Journal of Atmospheric Science, Vol. 20, ss. 130-141.

Aiheesta muualla

• Bishop, Robert: Chaos The Stanford Encyclopedia of Philosophy. The Metaphysics Research Lab. Stanford University. (englanniksi)