Muokataan sivua Binäärioperaatio

Joukon ''A'' '''binäärioperaatio''' tai '''binäärinen operaatio''' on [[funktio]] <math>*  : A \times A \rightarrow A.</math> Pohjimmiltaan se on abstrakti [[laskutoimitus]].

Alkion <math>(x,y) \in A \times A</math> kuva-alkiolle on yleinen merkintätapa <math>x*y. \ </math>. Koska [[relaatio]] <math>*</math> on funktio, täytyy päteä, että alkio <math>x*y \in A</math> on yksikäsitteinen.

==Ominaisuuksia==

Joukon ''A'' binäärioperaatio <math>*  \ </math> on
*ykkösellinen, jos on olemassa sellainen alkio <math>e \in A</math> ([[neutraalialkio]]), jolle pätee <math>a*e=e*a=a \ </math> kaikilla <math>x \in A,</math>
*[[kommutatiivinen]], jos <math>x*y = y*x \ </math> kaikilla <math>x,y \in A.</math> ja
*[[assosiatiivinen]], jos <math>(x*y)*z = x*(y*z) \ </math> kaikilla <math>x,y,z \in A</math>.

Viimeisessä kohdassa merkintä <math>(x*y)*z \ </math> tarkoittaa parin <math>((x*y),z) \ </math> kuva-alkiota.

==Esimerkkejä==

[[Kokonaisluvut|Kokonaislukujen]] [[yhteenlasku]] (+) ja [[kertolasku]] ovat kommutatiivisia ja assosiatiivisia binäärioperaatiota. Yhteenlaskun neutraalialkio on 0 ja kertolaskun neutraalialkio on 1. Vastaavasti myös esimerkiksi [[rationaaliluku]]jen ja [[reaaliluku]]jen yhteen- ja kertolaskut ovat binäärioperaatioita.

Nollasta eroavien kokonaislukujen [[jakolasku]] (/) ei ole binäärioperaatio, koska esimerkiksi parin <math>(1,2)</math> kuva <math>1/2</math> ei kuulu kokonaislukuihin. Toisaalta nollasta eroavien rationaalilukujen jakolasku on binäärioperaatio, joka ei ole kommutatiivinen, koska esimerkiksi <math>2/1 \not = 1/2.</math>

==Merkitys algebrassa==

Binäärioperaatiolla on merkittävä osa useassa [[abstrakti algebra|abstraktin algebran]] rakenteessa. Esimerkiksi [[magma (matematiikka)|magma]] on pari <math>(A,*) \ </math>, missä ''A'' on joukko ja <math>* \ </math> on joukon ''A'' binäärioperaatio. Magman johdannaisissa rakenteissa binäärioperaatiolta vaaditaan lisää ominaisuuksia. Esimerkiksi [[puoliryhmä]] on magma, jonka binäärioperaatio on assosiatiivinen. Muita magmasta lähteviä rakenteita ovat esimerkiksi [[monoidi]], [[kvasiryhmä]], [[luuppi (algebra)|luuppi]] ja [[ryhmä (algebra)|ryhmä]]. [[Rengas (matematiikka)|Rengas]], [[kokonaisalue]] ja [[kunta]] ovat taas kolmikkoja <math>(A,+,*) \ </math>, missä ''A'' on joukko sekä <math>+ \ </math> ja <math>* \ </math> ovat joukon ''A'' binäärioperaatiota tietyin lisäehdoin.

==Lähteet==
* [http://faculty.atu.edu/mfinan/4033/absalg3.pdf] {{Wayback|1=http://faculty.atu.edu/mfinan/4033/absalg3.pdf |päiväys=20150404130041 }}

==Kirjallisuutta==
* {{Kirjaviite | Tekijä=Häsä, Jokke; Rämö, Johanna | Nimeke=Johdatus abstraktiin algebraan | Julkaisupaikka=Helsinki | Julkaisija=Gaudeamus | Vuosi=2015 | Tunniste=ISBN 978-952-495-361-0}}

{{tynkä/Matematiikka}}

[[Luokka:Algebra]]