Ero sivun ”Binäärioperaatio” versioiden välillä
| [arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
Ak: Sivu tyhjennettiin |
Käyttäjän Bling=bling93 (keskustelu) muokkaus 2782774 kumottiin |
||
Rivi 1:
Joukon ''A'' '''binäärioperaatio''' tai '''binäärinen operaatio''' on [[funktio]] <math>* : A \times A \rightarrow A.</math> Pohjimmiltaan se on abstrakti [[laskutoimitus]].
Alkion <math>(x,y) \in A \times A</math> kuva-alkiolle on yleinen merkintätapa <math>x*y. \ </math>. Koska [[relaatio]] <math>*</math> on funktio, täytyy päteä, että alkio <math>x*y \in A</math> on yksikäsitteinen.
==Ominaisuuksia==
Joukon ''A'' binäärioperaatio <math>* \ </math> on
*ykkösellinen, jos on olemassa sellainen alkio <math>e \in A</math> ([[neutraalialkio]]), jolle pätee <math>a*e=e*a=a \ </math> kaikilla <math>x \in A,</math>
*[[kommutatiivinen]], jos <math>x*y = y*x \ </math> kaikilla <math>x,y \in A.</math> ja
*[[assosiatiivinen]], jos <math>(x*y)*z = x*(y*z) \ </math> kaikilla <math>x,y,z \in A</math>.
Viimeisessä kohdassa merkintä <math>(x*y)*z \ </math> tarkoittaa parin <math>((x*y),z) \ </math> kuva-alkiota.
==Esimerkkejä==
[[Kokonaisluvut|Kokonaislukujen]] [[yhteenlasku]] (+) ja [[kertolasku]] ovat kommutatiivisia ja assosiatiivisia binäärioperaatiota. Yhteenlaskun neutraalialkio on 0 ja kertolaskun neutraalialkio on 1. Vastaavasti myös esimerkiksi [[rationaaliluku|rationaalilukujen]] ja [[reaaliluku|reaalilukujen]] yhteen- ja kertolaskut ovat binäärioperaatioita.
Nollasta eroavien kokonaislukujen [[jakolasku]] (/) ei ole binäärioperaatio, koska esimerkiksi parin <math>(1,2)</math> kuva <math>1/2</math> ei kuulu kokonaislukuihin. Toisaalta nollasta eroavien rationaalilukujen jakolasku on binäärioperaatio, joka ei ole kommutatiivinen, koska esimerkiksi <math>2/1 \not = 1/2.</math>
==Merkitys algebrassa==
Binäärioperaatiolla on merkittävä osa useassa [[abstrakti algebra|abstraktin algebran]] rakenteessa. Esimerkiksi [[magma (matematiikka)|magma]] on pari <math>(A,*) \ </math>, missä ''A'' on joukko ja <math>* \ </math> on joukon ''A'' binäärioperaatio. Magman johdannaisissa rakenteissa binäärioperaatiolta vaaditaan lisää ominaisuuksia. Esimerkiksi [[puoliryhmä]] on magma, jonka binäärioperaatio on assosiatiivinen. Muita magmasta lähteviä rakenteita ovat esimerkiksi [[monoidi]], [[kvasiryhmä]], [[luuppi (algebra)|luuppi]] ja [[ryhmä]]. [[Rengas]], [[kokonaisalue]] ja [[kunta]] ovat taas kolmikkoja <math>(A,+,*) \ </math>, missä ''A'' on joukko sekä <math>+ \ </math> ja <math>* \ </math> ovat joukon ''A'' binäärioperaatiota tietyin lisäehdoin.
{{tynkä/Matematiikka}}
[[Luokka:Algebra]]
[[cs:Binární operace]]
[[da:Binær operator]]
[[de:Zweistellige Verknüpfung]]
[[en:Binary operation]]
[[et:Binaarne tehe]]
[[eo:Operacio (matematiko)]]
[[fr:Loi de composition interne]]
[[ko:이항연산]]
[[he:פעולה בינארית]]
[[nl:Binaire operatie]]
[[ja:二項演算]]
[[pl:Działanie dwuargumentowe]]
[[ru:Бинарная операция]]
[[sk:Binárna operácia]]
[[sl:Dvočlena operacija]]
[[sv:Binär operator]]
[[zh:二元运算]]
| |||