« Nombre polygonal centré » : différence entre les versions

Un nombre polygonal centré est un type de nombre figuré, qui peut être représenté par une figure plane ayant un point placé en son centre et tous les autres points disposés autour de ce centre formant des couches polygonales successives avec un nombre constant de côtés. Chaque côté d'un polygone d'une couche contient au moins un point de plus que n'importe quel côté du polygone de la couche précédente. Ainsi, dans une figure représentant un nombre k-gonal centré, à partir de la deuxième couche polygonale, chaque couche contient au moins k points de plus que la couche précédente.

Des exemples de nombres centrés sont

• les nombres triangulaires centrés 1,4,10,19,31,...
• les nombres carrés centrés 1,5,13,25,41,...
• les nombres pentagonaux centrés 1,6,16,31,51,...
• les nombres hexagonaux centrés 1,7,19,37,61,...
• etc.

Chaque suite de nombres centrés peut être formée en additionnant 1 à un multiple fixe d'un précédent nombre triangulaire, et donc algébriquement, le nombre k-gonal centré de rang nest égal à

$Ck_{n}=kT_{n-1}+1$

où T est un nombre triangulaire.

Exactement comme dans le cas des nombres polygonaux réguliers, le premier nombre k-gonal est 1. Ainsi, pour tout entier k strictement positif, 1 est un nombre k-gonal et aussi un nombre k-gonal centré. Le nombre suivant à être à la fois k-gonal et k-gonal centré est égal à

${k^{3}-k^{2}+2} \over 2$

Ce qui permet de voir que 10 est triangulaire et triangulaire et centré, 25 est à la fois un nombre carré et carré centré, etc...