« Cube du prince Rupert » : différence entre les versions

Un cube unité comportant un trou assez large pour permettre le passage du cube du prince Rupert.

En géométrie, le Cube du prince Rupert (nommé d'après le Prince Rupert du Rhin) est le plus grand cube pouvant passer à travers un trou pratiqué dans un cube unitaire, i.e. un cube d'arête 1, sans séparer le cube en deux parties. La longueur de son arête est approximativement 6% plus longue que celle du cube au travers duquel il passe. Le problème consistant à trouver le plus grand carré tenant entièrement dans un cube unitaire est directement lié et possède la même solution.

Solution

Si deux points sont placés sur deux arêtes adjacentes d'un cube unité, chacun à une distance de 3/4 du point d'intersection de ces arêtes, alors la distance entre ces points est

${\frac {3{\sqrt {2}}}{4}}\approx 1.0606601.$

Ces deux points, avec un second couple de points placés symétriquement sur la face opposée du cube, forment les quatre sommets d'un carré entièrement contenu dans le cube unité. Ce carré, prolongé perpendiculairement dans les deux directions, forme le trou au travers duquel un cube plus grand que le cube original (avec une longueur allant jusqu'à ${\tfrac {3{\sqrt {2}}}{4}}$) peut passer.

Les parties restantes du cube unité, après avoir pratiqué ce trou, forment deux prismes triangulaires et deux tétraèdres irréguliers, reliés par de fins ponts aux quatre sommets du carré. Chaque prisme a parmi ses six sommets deux sommets adjacents du cube et quatre points le long des arêtes du cube situés à une distance de 1/4 de ces sommets du cube. Chaque tétraèdre a parmi ses quatre sommets un sommet du cube, deux points situés à une distance de 3/4 de ce sommet sur des arêtes adjacentes, et un point situé à une distance de 3/16 du sommet du cube le long de la troisième arête adjacente.

Histoire

Prince Rupert du Rhin (1619-1682)

Le cube du prince Rupert porte le nom du prince Rupert du Rhin. Selon une histoire rapportée en 1693 par le mathématicien anglais John Wallis, le Prince Rupert a parié qu'un trou pouvait être pratiqué dans un cube, assez large pour laisser passer un autre cube de la même à travers ce trou. Wallis a montré qu'en fait un tel trou était possible (avec quelques erreurs qui ne furent corrigées que bien plus tard) et le Prince Rupert a gagné son pari.

John Wallis

Wallis suppose que ce trou serait parallèle à une grande diagonale du cube. La projection du cube sur un plan perpendiculaire à cette diagonale est un hexagone régulier et le meilleur trou parallèle à la diagonale peut être obtenu en dessinant le plus grand carré possible pouvant être inscrit dans cet hexagone. En calculant la taille de ce carré on montre qu'un cube d'arête

${\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}\approx 1.03527$,

légèrement plus grand que 1, est capable de passer à travers le trou.

Pieter Nieuwland

Environ 100 ans plus tard, le mathématicien néerlandais Pieter NieuwlandPieter Nieuwland trouve qu'une meilleure solution (en fait, la solution optimale) peut être obtenu en envisageant un trou formant un angle différent de la diagonale. Nieuwland décède en 1794, un an après avoir obtenu un poste de professeur à l'Université de Leyde, mais sa solution est publiée de façon posthume en 1816 par le mentor de Nieuwland, Jean Henri van SwindenJean Henri van Swinden.

Jan Hendrik van Swinden

Depuis lors, ce problème est un classique figurant dans plusieurs ouvrages sur les mathématiques récréatives, dans certains cas avec la solution non optimale de Wallis au lieu de la solution optimale.

Modèles

La construction d'un modèle physique du cube du prince Rupert est rendue difficile par la précision nécessaire pour les mesures et la finesse des connexions entre les parties restantes du cube après obtention du trou ; pour cette raison, le problème a été qualifié de « mathématiquement possible mais pratiquement impossible ».

Néanmoins, dans une étude en 1950 de ce problème, D. J. E. Schrek publie des photographies d'un modèle de cube passant au travers d'un autre cube. Martin Raynsford a dessiné un modèle de construction en papier models d'un tel cube traversé par un autre cube ; afin de tenir compte des tolérances liées aux constructions en papier et ne pas tirer le papier trop près des jonctions entre les parties du cube évidé, le trou dans le modèle de Raynsford est légèrement que le cube qu'il laisse passer.

Le 10 septembre 2015 David Howarth, durant une conférence sur les mathématiques récréatives devant le Rotary Club de Turton, à Bolton en Angleterre, effectue la démonstration : il sort un cube d'une boîte, enlève un carré pré-découpé dans ce cube et fait passer la boîte à travers ce trou pour ensuite remettre le petit cube dans la boîte. Cela semble être la première démonstration pratique d'un cube plus grand passant à travers un cube plus petit.

Généralisations

Le cube n'est pas le seul solide pouvant passer à travers un trou pratiqué dans une copie de lui-même ; cette propriété est valable pour le tétraèdre et l'octaèdre réguliers.

Texte à traduire

Portion de texte anglais à traduire en français

Texte anglais à traduire :
Another way to express the same problem is to ask for the largest square that lies within a unit cube. More generally, Jerrard & Wetzel (2004) show how to find the largest rectangle of a given aspect ratio that lies within a unit cube. As they show, the optimal rectangle must always pass through the center of the cube, with its vertices on edges of the cube. Based on this, they show, depending on the desired aspect ratio, that the optimal rectangle must either lie on a plane that cuts diagonally through four corners of the cube, or it must be formed by an isosceles right triangle on one corner of the cube and by the two opposite points, as in the case of Prince Rupert's problem. If the aspect ratio is not constrained, the rectangle with the largest area that fits within a cube is the one that has two opposite edges of the cube as two of its sides, and two face diagonals as the other two sides.

Alternatively, one may ask for the largest $m$-dimensional hypercube that may be drawn within an $n$-dimensional unit hypercube. The answer is always an algebraic number. For instance, the problem for $(m,n)=(3,4)$ asks for the largest cube within a four-dimensional hypercube. After Martin Gardner posed this question in Scientific American, Kay R. Pechenick DeVicci and several other readers showed that the answer for the (3,4) case is the square root of the smaller of two real roots of the polynomial $4x^{4}-28x^{3}-7x^{2}+16x+16$, which works out to approximately 1.007435. For $m=2$, the optimal side length of the largest square in an $n$-dimensional hypercube is either ${\sqrt {n/2}}$ or ${\sqrt {n/2-3/8}}$, depending on whether $n$ is even or odd respectively.

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Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Prince Rupert's cube » (voir la liste des auteurs).

Lien externe

• (en) Eric W. Weisstein, « Cube du prince Rupert », sur MathWorld