Lemme du tube
En mathématiques, le lemme du tube est le résultat de topologie générale suivant[1],[2] :
Si x est un point d'un espace topologique X et si Y est un espace quasi-compact, tout ouvert de X × Y contenant la partie {x} × Y contient un ouvert élémentaire U × Y contenant cette partie.
Il permet par exemple de démontrer simplement que tout produit fini de compacts est compact, sans recourir au théorème de Tychonov.
Remarques
[modifier | modifier le code]- Le lemme du tube équivaut à :Pour tout espace X et tout espace quasi-compact Y, la projection X × Y → X est une application fermée.
- L'hypothèse que Y est quasi-compact est indispensable : par exemple[3] dans le plan euclidien ℝ × ℝ, l'ouvert {(x, y) ; |x| < 1/(y2 + 1)} contient {0} × ℝ mais ne contient aucun ouvert élémentaire intermédiaire. Plus généralement, pour tout espace Y non quasi-compact, il existe un espace X pour lequel la projection X × Y → X n'est pas fermée, donc dans lequel un certain point x ne vérifie pas le lemme du tube.
Application aux produits finis de compacts
[modifier | modifier le code]Le lemme du tube permet de montrer que le produit de deux espaces quasi-compacts est quasi-compact[1],[4]. Par récurrence, tout produit fini d'espaces quasi-compacts est donc quasi-compact, si bien que tout produit fini d'espaces compacts (c'est-à-dire quasi-compacts et séparés) est compact.
Ce cas particulier du théorème de Tychonov est ainsi bien plus élémentaire que le cas d'un produit infini[5].
Généralisation
[modifier | modifier le code]La preuve[4] de la généralisation suivante[6] est à peine plus compliquée que la preuve directe[1] du lemme du tube.
Si A est une partie quasi-compacte d'un espace X et B une partie quasi-compacte d'un espace Y, tout ouvert contenant la partie A × B contient un ouvert élémentaire U × V contenant cette partie.
Elle permet de montrer[4] que dans un espace séparé, deux parties compactes disjointes sont toujours incluses dans deux ouverts disjoints.
Notes et références
[modifier | modifier le code]- (en) James Munkres, Topology, Prentice Hall, , 2e éd. (lire en ligne), p. 167-168.
- (en) Joseph Rotman (en), An Introduction to Algebraic Topology, Springer, coll. « GTM » (no 119), , 438 p. (ISBN 978-0-387-96678-6, lire en ligne), p. 189-190, Lemma 8.9’.
- Munkres 2000, p. 168-169.
- Voir l'exercice corrigé sur Wikiversité (lien ci-contre).
- Munkres 2000, p. 169.
- Souvent proposée à titre d'exercice, comme dans Munkres 2000, p. 171.