Espazo compacto

En topoloxía, un espazo compacto é un espazo que ten propiedades similares a un conxunto finito, en canto a que as sucesións contidas nun conxunto finito sempre conteñen unha subsucesión converxente. A noción de compacidade é unha versión máis xeral desta propiedade.

Un conxunto compacto é un subconxunto dun espazo topolóxico, que como subespazo topolóxico (coa topoloxía inducida) é en si mesmo un espazo topolóxico compacto.

Definición

A definición moderna de compacidade require primeiro especificar a noción de cobertura aberta:

Dada unha cobertura C dun conxunto A, unha subcobertura D é unha subfamilia de C, D ⊆ C que segue a ser unha cobertura de A, é dicir, unha subcolección de conxuntos de C que aínda cobre A.

A definición de compacidade é entón:

Exemplos

• O conxunto K = {1, 1/2, 1/3, 1/4,..., 0} ⊆ R coa topoloxía herdada da estándar de R é compacto. Dada unha veciñanza de 0, este inclúe todos os 1/n agás un número finito —posto que a sucesión {1/n}n _∈ N converxe a 0—. Polo tanto, dado unha cobertura aberta de K, tomando un aberto O que conteña a 0 e un aberto que conteña cada punto 1/n non contido en O, esta subcolección finita cobre K.
• O intervalo aberto (0, 1) ⊆ R non é compacto (coa topoloxía usual herdada de R). A familia { (0, 1 − 1/n) }n _{> 1} é unha cobertura aberta do intervalo, pero dada calquera subfamilia finita, existe un intervalo (0, 1 − 1/k) nela que contén os demais —buscando aquel con k máximo—. Como 1 − 1/p non está en (0, 1 − 1/k) se p ≥ k, ningunha subfamilia finita cobre (0, 1).

Caracterizaciones equivalentes

A compacidade dun espazo admite varias formulacións alternativas:

Compacidade en espazos métricos

Un subco${\displaystyle }$nxunto A dun espazo métrico e, en pa${\displaystyle }$ticular, do espazo euclídeo

R é compacto se cumpre algunha das catro condiciones da definición xeral. Non obstante, a terceira delas admite a seguinte reescritura neste contexto: toda sucesión en A admite unha subsucesión converxente.

Exemplos

• O exemplo máis sinxelo dun subconxunto compacto da recta euclídea é un intervalo pechado [a,b] da mesma (Teorema de Heine-Borel).
• Máis xeralmente, tamén o é calquera conxunto pechado e limitado do espazo euclidiano. Por exemplo, calquera círculo no plano euclídeo.
• Todo espazo X cofinito é compacto.
• Un exemplo de espazo non compacto é a recta real, pois non é limitada e contén sucesións que tenden a infinito. Ademais ningunha subfamilia finita da cobertura de abertos {(-n, n): n é número natural} recobre a recta real.
• Tampouco é compacto o conxunto dos números racionais. En efecto, unha sucesión de racionais que converxe a un irracional (ao ser vista como sucesión nos reais) non ten ningunha subsucesión converxente a un racional.

Teoremas asociados á compacidade

Teorema de Heine-Borel

Polo teorema de Heine-Borel, un espazo métrico é compacto se e só se é completo e totalmente limitado. Para subconxuntos do espazo euclidiano, abonda con que este sexa pechado e limitado, que é unha caracterización útil.

Con todo, en dimensión infinita, isto non é verdade, e, de feito, neste contexto a bóla unitaria pechada xamais será precompacta; polo mesmo, é moito máis difícil verificar a compacidade.

Véxase tamén

• Localmente compacto
• Soporte compacto

Referencias

• Ivorra, Carlos, Modelo desbotado. Use un dos modelos de citas no lugar deste marcador. , consultado o 21 de maio de 2011 .
• Munkres, James (2001). Topología. Pearson Educación. ISBN 9788420531809.