כמעט כל (מתמטיקה) – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

בשורה

גרסה אחרונה מ־22:15, 1 בפברואר 2024

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, משתמשים לעיתים בביטוי כמעט כל במשמעות מדויקת, שפירושה "הכל, פרט אולי לקבוצה זניחה". השאלה אילו קבוצות זניחות נקבעת לפי ההקשר. בכל המקרים, איחוד של שתי קבוצות זניחות הוא זניח, וכך נשמרת המוסכמה, שאם "כמעט בכל מקום מתקיים התנאי P" ו"כמעט בכל מקום מתקיים התנאי Q", אז "כמעט בכל מקום מתקיימים התנאים P ו-Q גם יחד".

כעין זה משתמשים גם בביטויים כמעט תמיד או כמעט בוודאות, ראו להלן.

הכול פרט למספר סופי

כאשר עוסקים בסדרות, או בקבוצות בנות מנייה באופן כללי, פירושו המקובל של המונח "כמעט כל" הוא "פרט למספר סופי של יוצאי דופן". לדוגמה, אומרים על סדרה שהיא מתכנסת לגבול $x$ אם ורק אם לכל סביבה של $x$ , כמעט כל אברי הסדרה נמצאים באותה סביבה - כלומר, יש רק מספר סופי של איברים מחוץ לסביבה.

"המשפט הטיפשי של האריתמטיקה"^[1]^[2] קובע, בדרך הלצה, שכמעט כל מספר טבעי הוא "גדול מאוד". אף על פי ש"גדול מאוד" אינה תכונה מתמטית מדויקת, אפשר לצפות שיהיו לה שתי תכונות:

יש לפחות מספר אחד שהוא גדול מאוד.
אם מספר מסוים הוא גדול מאוד, אז גם כל מספר גדול ממנו הוא גדול מאוד.

כעת אפשר להוכיח את המשפט בקלות: יהי n מספר גדול מאוד (קיומו של מספר כזה מובטח מן התכונה הראשונה). כל המספרים הגדולים מ-n הם גדולים מאוד (על-פי התכונה השנייה), ולכן יש לכל היותר n-1 מספרים שאינם גדולים מאוד, ומספרם סופי.

הכול פרט לקבוצה בת צפיפות אפס

כאשר עולה הצורך בניתוח מדוקדק יותר של קבוצות אינסופיות, למשל, בתורת המספרים, המונח "כמעט כל" עשוי לקבל משמעות של צפיפות. "כמעט כל מספר מקיים תכונה P", אם הצפיפות של קבוצת המספרים שאינם מקיימים את התכונה היא אפס. נניח ש- $\ p(n)$ הוא מספרם של הטבעיים $\ 1,2,...,n$ המקיימים תכונה מסוימת. אומרים שכמעט כל המספרים מקיימים את התכונה, אם מתקיים הגבול $\lim _{n\to \infty }{\frac {p(n)}{n}}=1$ . אם P הוא שם התכונה, אפשר לסמן את העובדה שכמעט כל המספרים מקיימים את P על ידי $(\forall ^{\infty }n)P(n)$ .

לדוגמה, משפט המספרים הראשוניים קובע כי המספר של ראשוניים הקטנים ממספר נתון $\ n$ שווה בקירוב ל- $\ n/\ln(n)$ . לכן החלק היחסי של מספרים ראשוניים הולך ופוחת לאפס כאשר $\ n$ גדל. נובע מזה שכמעט כל המספרים הטבעיים הם מספרים פריקים, אף על פי שקיימים אינסוף מספרים ראשוניים.

הכול פרט לקבוצה ממידה אפס

בתורת המידה אומרים שתכונה מתקיימת כמעט בכל מקום (almost everywhere או .a.e או בעברית: כ.ב.מ.) אם לקבוצת הנקודות שבהן היא אינה מתקיימת יש מידה אפס. כך למשל, פונקציה היא "רציפה כמעט בכל מקום" אם קבוצת נקודות אי-הרציפות היא בעלת מידה אפס.

באותו אופן, בתורת ההסתברות אומרים שמאורע יתרחש כמעט בוודאות (almost surely, או בקיצור a.s.), או בהסתברות $1$ אם ההסתברות לכך שלא יתרחש היא אפס. בניסוח שקול, אומרים כי קבוצות הנקודות במרחב המדגם שאינן במאורע היא ממידה אפס (ביחס לפונקציית ההסתברות, שהיא מידה). לדוגמה, ההסתברות לכך שנקודה הנבחרת מהתפלגות אחידה על ריבוע תיפול על האלכסון שלו היא אפס, ולכן "כמעט כל הנקודות בריבוע אינן על האלכסון" או "נקודה אקראית בריבוע אינה על האלכסון בהסתברות $1$ ".

המידה של איחוד בן מנייה של קבוצות ממידה אפס גם היא אפס. תחת הפירוש של תורת המידה, אם לכל $n$ , התנאי $P_{n}$ מתקיים כמעט בכל מקום, אז כמעט בכל מקום מתקיימים כל התנאים $P_{1},P_{2},\dots$ יחדיו.

הכול פרט לקבוצה דלילה

בטופולוגיה של מרחבים מטריים או מרחבי בייר ("מרחב מהקטגוריה השנייה"), כאשר לא מוגדרת פונקציית מידה, ממלאות הקבוצות הדלילות את מקומן של הקבוצות ממידה אפס. במקרה זה, התכונה P "מתקיימת כמעט בכל מקום" אם היא מתקיימת מחוץ לקבוצה דלילה.

ראו גם

גדול מספיק

קישורים חיצוניים

כמעט כל, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

^ באתר MathWorld של Wolfram
^ באתר MathDaily

[1] באתר MathWorld של Wolfram

[2] באתר MathDaily

[1]

[2]

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
+{{סימון מתמטי}}
-ב[[מתמטיקה]], משתמשים לעתים בביטוי '''כמעט כל''' במשמעות מדויקת, שפירושה "הכל, פרט אולי לקבוצה זניחה". השאלה אילו קבוצות זניחות נקבעת לפי ההקשר. בכל המקרים [[איחוד (מתמטיקה)|איחוד]] של שתי קבוצות זניחות הוא זניח, וכך נשמרת המוסכמה שאם "כמעט בכל מקום מתקיים התנאי P" ו"כמעט בכל מקום מתקיים התנאי Q", אז "כמעט בכל מקום מתקיימים התנאים P ו-Q גם יחד".
+ב[[מתמטיקה]], משתמשים לעיתים ב[[ניב (ביטוי)|ביטוי]] '''כמעט כל''' במשמעות מדויקת, שפירושה "הכל, פרט אולי ל[[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] זניחה". השאלה אילו קבוצות זניחות נקבעת לפי ההקשר. בכל המקרים, [[איחוד (מתמטיקה)|איחוד]] של שתי קבוצות זניחות הוא זניח, וכך נשמרת המוסכמה, שאם "כמעט בכל מקום מתקיים התנאי P" ו"כמעט בכל מקום מתקיים התנאי Q", אז "כמעט בכל מקום מתקיימים התנאים P ו-Q גם יחד".
+כעין זה משתמשים גם בביטויים '''כמעט תמיד''' או '''כמעט בוודאות''', ראו להלן.
 == הכול פרט למספר סופי ==
+כאשר עוסקים בסדרות, או ב[[קבוצה בת מנייה|קבוצות בנות מנייה]] באופן כללי, פירושו המקובל של המונח "כמעט כל" הוא "פרט למספר סופי של יוצאי דופן". לדוגמה, אומרים על [[סדרה (מתמטיקה)|סדרה]] שהיא מתכנסת ל[[גבול (מתמטיקה)|גבול]] <math>x</math> [[אם ורק אם]] לכל סביבה של <math>x</math>, '''כמעט כל''' אברי הסדרה נמצאים באותה סביבה - כלומר, יש רק מספר סופי של איברים מחוץ לסביבה.
+"המשפט הטיפשי של האריתמטיקה"{{הערה|1=[http://mathworld.wolfram.com/FrivolousTheoremofArithmetic.html באתר MathWorld] של Wolfram}}{{הערה|1=[http://www.mathdaily.com/lessons/Frivolous_Theorem_of_Arithmetic באתר MathDaily]}} קובע, בדרך הלצה, שכמעט כל [[מספר טבעי]] הוא "[[מספרים גדולים|גדול מאוד]]". אף על פי ש"גדול מאוד" אינה תכונה מתמטית מדויקת, אפשר לצפות שיהיו לה שתי תכונות:
-כאשר עוסקים בסדרות, או ב[[קבוצה בת מנייה|קבוצות בנות מנייה]] באופן כללי, פירושו המקובל של המונח "כמעט כל" הוא "פרט למספר סופי של יוצאי דופן". לדוגמה, אומרים על [[סדרה]] שהיא מתכנסת ל[[גבול (מתמטיקה)|גבול]] x [[אם ורק אם]] לכל סביבה של x, '''כמעט כל''' אברי הסדרה נמצאים באותה סביבה - כלומר, יש רק מספר סופי של איברים מחוץ לסביבה.
+* יש לפחות מספר אחד שהוא גדול מאוד.
+* אם מספר מסוים הוא גדול מאוד, אז גם כל מספר גדול ממנו הוא גדול מאוד.
-"המשפט הטיפשי של האריתמטיקה"‏‏‏‏<ref>[http://mathworld.wolfram.com/FrivolousTheoremofArithmetic.html באתר MathWorld] של Wolfram‏</ref><ref>‏[http://www.mathdaily.com/lessons/Frivolous_Theorem_of_Arithmetic באתר MathDaily]</ref> קובע, בדרך הלצה, שכמעט כל [[מספר טבעי]] הוא "[[מספר גדול|גדול מאד]]". למרות ש"גדול מאד" אינה תכונה מתמטית מדויקת, אפשר לצפות שיהיו לה שתי תכונות:
+כעת אפשר להוכיח את המשפט בקלות: יהי n מספר גדול מאוד (קיומו של מספר כזה מובטח מן התכונה הראשונה). כל המספרים הגדולים מ-n הם גדולים מאוד (על-פי התכונה השנייה), ולכן יש לכל היותר n-1 מספרים שאינם גדולים מאוד, ומספרם סופי.
-* יש לפחות מספר אחד שהוא גדול מאד.
-* אם מספר מסוים הוא גדול מאד, אז גם כל מספר גדול ממנו הוא גדול מאד.
-כעת אפשר להוכיח את המשפט בקלות: יהי n מספר גדול מאוד (קיומו של מספר כזה מובטח מן התכונה הראשונה). כל המספרים הגדולים מ-n הם גדולים מאוד (על-פי התכונה השנייה), ולכן יש כל היותר n-1 מספרים שאינם גדולים מאד, ומספרם סופי.
 == הכול פרט לקבוצה בת צפיפות אפס ==
+כאשר עולה הצורך בניתוח מדוקדק יותר של קבוצות אינסופיות, למשל, ב[[תורת המספרים]], המונח "כמעט כל" עשוי לקבל משמעות של צפיפות. "כמעט כל מספר מקיים תכונה P", אם ה[[צפיפות (תורת המספרים)|צפיפות]] של קבוצת המספרים שאינם מקיימים את התכונה היא אפס. נניח ש- <math>\ p(n)</math> הוא מספרם של ה[[מספר טבעי|טבעיים]] <math>\ 1,2,...,n</math> המקיימים תכונה מסוימת. אומרים ש'''כמעט כל''' המספרים מקיימים את התכונה, אם מתקיים הגבול <math>\lim_{n \to \infty} \frac{p(n)}{n} = 1</math>. אם P הוא שם התכונה, אפשר לסמן את העובדה שכמעט כל המספרים מקיימים את P על ידי <math>(\forall^\infty n) P(n)</math>.
+לדוגמה, [[משפט המספרים הראשוניים]] קובע כי המספר של [[מספר ראשוני|ראשוניים]] הקטנים ממספר נתון <math>\ n</math> שווה בקירוב ל- <math>\ n/\ln(n)</math>. לכן החלק היחסי של מספרים ראשוניים הולך ופוחת לאפס כאשר <math>\ n</math> גדל. נובע מזה שכמעט כל המספרים הטבעיים הם [[מספר פריק|מספרים פריקים]], אף על פי שקיימים [[קיומם של אינסוף מספרים ראשוניים|אינסוף מספרים ראשוניים]].
-כאשר עולה הצורך בניתוח מדוקדק יותר של קבוצות אינסופיות, למשל, ב[[תורת המספרים]], המונח "כמעט כל" עשוי לקבל משמעות של צפיפות. "כמעט כל מספר מקיים תכונה P", אם ה[[צפיפות (תורת המספרים)|צפיפות]] של קבוצת המספרים שאינם מקיימים את התכונה היא אפס. נניח ש- <math>\ p(n)</math> הוא מספרם של ה[[מספר טבעי|טבעיים]] <math>\ 1,2,...,n</math> המקיימים תכונה מסוימת. אומרים ש'''כמעט כל''' המספרים מקיימים את התכונה, אם הגבול <math>\ p(n)/n</math> &larr; 1 כאשר <math>\ n</math> &larr; &infin;. אם P הוא שם התכונה, אפשר לסמן את העובדה שכמעט כל המספרים מקיימים את P על ידי <math>(\forall^\infty n) P(n)</math>.
-לדוגמה, [[משפט המספרים הראשוניים]] קובע כי המספר של [[מספר ראשוני|ראשוניים]] הקטנים ממספר נתון <math>\ n</math> שווה בקירוב ל- <math>\ n/\ln(n)</math>. לכן החלק היחסי של מספרים ראשוניים הולך ופוחת לאפס כאשר <math>\ n</math> גדל. נובע מזה שכמעט כל המספרים הטבעיים הם [[מספר פריק|מספרים פריקים]], למרות שקיימים [[קיומם של אינסוף מספרים ראשוניים|אינסוף מספרים ראשוניים]].
 == הכול פרט לקבוצה ממידה אפס ==
+ב[[תורת המידה]] אומרים שתכונה מתקיימת '''כמעט בכל מקום''' ('''almost everywhere''' או '''.a.e''' או בעברית: '''כ.ב.מ.''') אם לקבוצת הנקודות שבהן היא אינה מתקיימת יש [[מידה אפס]]. כך למשל, פונקציה היא "רציפה כמעט בכל מקום" אם קבוצת נקודות אי-הרציפות היא בעלת מידה אפס.
+באותו אופן, ב[[הסתברות|תורת ההסתברות]] אומרים ש[[מאורע]] יתרחש '''כמעט בוודאות''' ('''almost surely''', או בקיצור '''a.s.'''), או '''בהסתברות''' <math>1</math> אם ההסתברות לכך שלא יתרחש היא אפס. בניסוח שקול, אומרים כי קבוצות הנקודות ב[[מרחב המדגם]] שאינן במאורע היא ממידה אפס (ביחס לפונקציית ההסתברות, שהיא מידה). לדוגמה, ההסתברות לכך שנקודה הנבחרת מהתפלגות אחידה על ריבוע תיפול על האלכסון שלו היא אפס, ולכן "כמעט כל הנקודות בריבוע אינן על האלכסון" או "נקודה אקראית בריבוע אינה על האלכסון בהסתברות <math>1</math>".
-ב[[תורת המידה]] אומרים שתכונה מתקיימת '''כמעט בכל מקום''' (Almost everywhere או .a.e או בעברית: '''כ.ב.מ.''') אם לקבוצת הנקודות שבהן היא אינה מתקיימת יש [[מידה אפס]]. כך למשל, פונקציה היא "רציפה כמעט בכל מקום" אם קבוצת נקודות אי-הרציפות היא בעלת מידה אפס.
+המידה של איחוד בן מנייה של קבוצות ממידה אפס גם היא אפס. תחת הפירוש של תורת המידה, אם לכל <math>n</math>, התנאי <math>P_n</math> מתקיים כמעט בכל מקום, אז כמעט בכל מקום מתקיימים כל התנאים <math>P_1,P_2,\dots</math> יחדיו.
-באותו אופן, ב[[הסתברות|תורת ההסתברות]] אומרים ש[[מאורע (הסתברות)|מאורע]] יתרחש '''כמעט בוודאות''', או '''בהסתברות 1''' אם ההסתברות לכך שלא יתרחש היא אפס. או בנוסח שקול, קבוצות הנקודות ב[[מרחב המדגם]] שאינן במאורע היא ממידה אפס (ביחס לפונקציית ההסתברות, שהיא מידה). לדוגמה, ההסתברות לכך שנקודה הנבחרת מהתפלגות אחידה על ריבוע תיפול על האלכסון שלו היא אפס, ולכן "כמעט כל הנקודות בריבוע אינן על האלכסון".
-המידה של איחוד בן מנייה של קבוצות ממידה אפס גם היא אפס. תחת הפירוש של תורת המידה, אם לכל n, התנאי <math>\ P_n</math> מתקיים כמעט בכל מקום, אז כמעט בכל מקום מתקיימים כל התנאים <math>\ P_1,P_2,\dots</math> יחדיו.
 == הכול פרט לקבוצה דלילה ==
+ב[[טופולוגיה]] של [[מרחב מטרי|מרחבים מטריים]] או [[מרחב בייר|מרחבי בייר]] ("מרחב מהקטגוריה השנייה"), כאשר לא מוגדרת פונקציית מידה, ממלאות ה[[קבוצה דלילה|קבוצות הדלילות]] את מקומן של הקבוצות ממידה אפס. במקרה זה, התכונה P "מתקיימת כמעט בכל מקום" אם היא מתקיימת מחוץ לקבוצה דלילה.
+==ראו גם==
-ב[[טופולוגיה]] של [[מרחב מטרי|מרחבים מטריים]] או [[מרחב בייר|מרחבי בייר]] ("מרחב מהקטגוריה השנייה"), כאשר לא מוגדרת פונקציית מידה, ממלאות ה[[קבוצה דלילה|קבוצות הדלילות]] את מקומן של הקבוצות ממידה אפס. במקרה זה, "התכונה P מתקיימת כמעט בכל מקום" אם היא אינה מתקיימת בקבוצה דלילה.
+* [[גדול מספיק]]
+==קישורים חיצוניים==
+* {{MathWorld}}
 == הערות שוליים ==
+{{הערות שוליים}}
-<references />
 [[קטגוריה:מושגים במתמטיקה]]
 [[קטגוריה:תורת המידה]]
-{{נ}}
-[[en:Almost all]]
-[[bn:প্রায় সমস্ত]]
-[[de:Fast alle]]
-[[eo:Preskaŭ ĉiuj]]