כמעט כל (מתמטיקה) – הבדלי גרסאות

במתמטיקה, משתמשים לעתים בביטוי "כמעט כל" במשמעות מדויקת, שפירושה "הכל, פרט אולי לקבוצה זניחה"; השאלה אילו קבוצות זניחות נקבעת לפי ההקשר. בכל המקרים איחוד של שתי קבוצות זניחות הוא זניח, וכך נשמרת המוסכמה שאם "כמעט בכל מקום מתקיים התנאי P" ו"כמעט בכל מקום מתקיים התנאי Q", אז "כמעט בכל מקום מתקיימים התנאים P ו- Q גם יחד".

הכל פרט למספר סופי

כאשר עוסקים בסדרות, או בקבוצות בנות מנייה באופן כללי, פירושו המקובל של המונח "כמעט כל" הוא "פרט למספר סופי של יוצאי דופן". לדוגמה, אומרים על סדרה שהיא מתכנסת לגבול x אם ורק אם לכל סביבה של x, כמעט כל אברי הסדרה נמצאים באותה סביבה - כלומר, יש רק מספר סופי של איברים מחוץ לסביבה.

"המשפט הטיפשי של האריתמטיקה" [1] קובע, בדרך הלצה, שכמעט כל מספר טבעי הוא "גדול מאד". למרות ש"גדול מאד" אינה תכונה מתמטית מדוייקת, אפשר לצפות שיהיו לה שתי תכונות:

• יש לפחות מספר אחד שהוא גדול מאד.
• אם מספר מסויים הוא גדול מאד, אז גם כל מספר גדול ממנו הוא גדול מאד.

כעת אפשר להוכיח את המשפט בקלות: יהי n מספר גדול מאד (קיומו של מספר כזה מובטח מן התכונה הראשונה). כל המספרים הגדולים מ- n הם גדולים מאד (על-פי התכונה השניה), ולכן יש כל היותר n-1 מספרים שאינם גדולים מאד, ומספרם סופי.

הכל פרט לקבוצה בת צפיפות אפס

כאשר עולה הצורך בניתוח מדוקדק יותר של קבוצות אינסופיות, למשל, בתורת המספרים, המונח "כמעט כל" עשוי לקבל משמעות של צפיפות. "כמעט כל מספר מקיים תכונה P", אם הצפיפות של קבוצת המספרים שאינם מקיימים את התכונה היא אפס. נניח ש- $\ p(n)$ הוא מספרם של הטבעיים $\ 1,2,...,n$ המקיימים תכונה מסוימת. אומרים שכמעט כל המספרים מקיימים את התכונה, אם הגבול $\ p(n)/n$ ← 1 כאשר $\ n$ ← ∞. אם P הוא שם התכונה, אפשר לסמן את העובדה שכמעט כל המספרים מקיימים את P על-ידי $(\forall ^{\infty }n)P(n)$.

לדוגמה, משפט המספרים הראשוניים קובע כי המספר של ראשוניים הקטנים ממספר נתון $\ n$ שווה בקירוב ל- $\ n/\ln(n)$. לכן החלק היחסי של מספרים ראשוניים הולך ופוחת לאפס כאשר $\ n$ גדל. נובע מזה שכמעט כל המספרים הטבעיים הם מספרים פריקים, למרות שקיימים אין סוף מספרים ראשוניים.

הכל פרט לקבוצה ממידה אפס

בתורת המידה אומרים שתכונה מתקיימת כמעט בכל מקום (Almost everywhere או .a.e) אם לקבוצת הנקודות שבהן היא אינה מתקיימת יש מידה אפס. כך למשל, פונקציה היא "רציפה כמעט בכל מקום" אם קבוצת נקודות אי-הרציפות היא בעלת מידה אפס.

באותו אופן, בתורת ההסתברות אומרים שמאורע יתרחש "כמעט בוודאות" אם ההסתברות לכך שלא יתרחש היא אפס. ההסתברות לכך שנקודה הנבחרת מהתפלגות אחידה על ריבוע תיפול על האלכסון שלו היא אפס, ולכן "כמעט כל הנקודות בריבוע אינן על האלכסון".

המידה של איחוד בן מנייה של קבוצות ממידה אפס גם היא אפס. תחת הפירוש של תורת המידה, אם לכל n, התנאי $\ P_{n}$ מתקיים כמעט בכל מקום, אז כמעט בכל מקום מתקיימים כל התנאים $\ P_{1},P_{2},\dots$ יחדיו.

הכל פרט לקבוצה דלילה

בטופולוגיה של מרחבים מטריים או מרחבי בייר ("מרחב מהקטגוריה השנייה"), כאשר לא מוגדרת פונקציית מידה, ממלאות הקבוצות הדלילות את מקומן של הקבוצות ממידה אפס. במקרה זה, "התכונה P מתקיימת כמעט בכל מקום" אם היא אינה מתקיימת בקבוצה דלילה.