משפט לסקר-נתר – הבדלי גרסאות

משפט לסקר-נתר או משפט הפירוק הפרימרי הוא משפט בתורת החוגים, המספק, עבור כל אידיאל של חוג קומוטטיבי נתרי, פירוק בתור חיתוך של מספר סופי של אידיאלים פרימריים. הפירוק שבו מספר האידיאלים מינימלי הוא יחיד מבחינת הרדיקלים של האידיאלים הפרימריים המשתתפים בו.

את המשפט הוכיח עמנואל לסקר עבור חוגי פולינומים בכמה משתנים מעל שדה, ואמי נתר הכלילה אותו לכל חוג נתרי.

ניסוח המשפט

יהי $A$ חוג נתרי וקומוטטיבי. כל אידיאל $I$ של $A$ הוא חיתוך $I=Q_{1}\cap Q_{2}\cap ...\cap Q_{n}$, עבור אידיאלים פרימריים $Q_{1},Q_{2},...Q_{n}$. בנוסף לזה, בכל הדרכים להציג את $I$ כחיתוך כזה עם $n$ מינימלי, מתקבלים אותם רדיקלים ${\sqrt {Q_{1}}},{\sqrt {Q_{2}}},...,{\sqrt {Q_{n}}}$ (עד כדי סדר).

הוכחת הקיום

למה ראשונה: בחוג נתרי כל אידיאל הוא חיתוך של מספר סופי של אידיאלים אי פריקים (אידיאל אי-פריק הוא אידיאל שלא ניתן להציג כחיתוך של שני אידיאלים אחרים).

הוכחה: נניח בשלילה שקיימים אידיאלים שאינם חיתוך של מספר סופי של אידיאלים אי פריקים. על-פי עקרון המקסימום, המתקיים בחוגים נתריים, ניתן להניח שיש אידיאל $M$ שהוא מקסימלי מבין האידיאלים בעלי תכונה זו.

$M$ בוודאי אינו פריק, ולכן ניתן לרשום $M=A\cap B$ כאשר $M\subsetneq \ A,B$. מתוך המקסימליות של $M$ נובע ש-$A,B$ הם חיתוכים של מספר סופי של אידיאלים אי פריקים, ולכן גם החיתוך שלהם, $M$, הוא כזה – בסתירה להנחה.

למה שנייה: בחוג קומוטטיבי נתרי $A$, כל אידיאל אי פריק $Q$ הוא פרימרי.

הוכחה: נניח ש-$Q$ אינו פרימרי ונוכיח שהוא פריק. מכיוון ש-$Q$ אינו פרימרי, קיימים איברים $b,c\in A$ כך ש-$c\not \in Q$ וגם $\forall n:\ b^{n}\not \in Q$.

נסמן $I_{k}=\{x\in A|xb^{k}\in Q\}$. מכיוון ש-$Q$ הוא אידיאל, אם $xb^{k}\in Q$ אז גם אם נכפול אותו באיבר כלשהו הוא יישאר באידיאל ולכן גם $xb^{k+1}\in Q$.

מבנייה זו מתקבלת השרשרת העולה $Q=I_{0}\subset I_{1}\subset I_{2}\subset \dots$. מכיוון שהחוג נתרי השרשרת חייבת להעצר ולכן קיים $l$ כך ש-$I_{l}=I_{l+1}$.

לכן, אם $xb^{l+1}\in Q$ אזי $xb^{l}\in Q$.

כעת נסתכל על הקבוצות $M=Q+Ab^{l}$ ו-$N=Q+Ac$. הן בוודאי שונות מ-$Q$ מכיוון ש-$b^{l}\not \in Q$ ו-$c\not \in Q$.

נוכיח ש-$(Q+Ab^{l})\cap (Q+Ac)=Q$.

ברור ש-$Q\subset \ M\cap N$ מכיוון ש-$Q\subsetneq \ M$ וגם $Q\subsetneq \ N$. נראה ש-$M\cap N\subset \ Q$.

ניקח איבר בחיתוך, ונציג אותו כאיבר כל אחד מהקבוצות: $q+ab^{l}=q'+a'c$ כאשר $q,q'\in Q$ ו-$a,a'\in A$.

נכפול את שני צידי המשוואה ב-$b$ ונקבל $qb+ab^{l+1}=q'b+a'bc$.

עכשיו, נתון ש-$bc\in Q$ ומכיוון ש-$Q$ הוא אידיאל, אז $a'bc\in Q$. מכיוון ש-$Q$ אידיאל גם $qb,q'b\in Q$. זה גורר שהאיבר היחיד שנותר במשוואה גם כן שייך ל-$Q$, דהיינו: $ab^{l+1}\in Q$.

אבל הראנו שזה גורר ש-$ab^{l}\in Q$. ולכן $q+ab^{l}\in Q$, כלומר כל איבר כללי בחיתוך שייך ל-$Q$ ולכן $M\cap N\subset \ Q$.

אם כן, $M\cap N=Q$ כלומר הצלחנו לפרק את $Q$ ל-$M$ ו-$N$ ולכן $Q$ פריק כפי שרצינו.

משתי הלמות מתקבל פירוק סופי של כל אידיאל לאידיאלים פרימריים.