משפט תלמי – הבדלי גרסאות

מרובע שניתן לחסום במעגל

בגאומטריה אוקלידית, משפט תַּלְמַי מתאר קשר בין ארבע הצלעות של מרובע החסום במעגל לבין אלכסוני המרובע. המשפט קרוי על שמו של המתמטיקאי והאסטרונום היווני בן המאה השנייה, פטולמאוס קלאודיוס המוכר בקצרה בשם תַלְמַי.

ניסוח המשפט: אם במרובע ABCD סכום זוג זוויות נגדיות אחד שווה לסכום הזוג השני,
כלומר: $\angle A+\angle C=\angle B+\angle D$,

אז: ${\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}={\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {BC}}\cdot {\overline {AD}}$

מכיוון שכל מרובע המקיים $\angle A+\angle C=\angle B+\angle D$ ניתן לחסום במעגל, הרי שאת המשפט ניתן לנסח גם באופן הבא: בכל מרובע ציקלי, סכום מכפלת הצלעות הנגדיות שווה למכפלת האלכסונים.
המשפט ההפוך נכון גם הוא: כל מרובע שסכום מכפלת צלעותיו הנגדיות שווה למכפלת אלכסוניו, ניתן לחסום במעגל.

הוכחה

מבנה ההוכחה של משפט תלמי

1. יהי ABCD כך ש $\angle A+\angle C=\angle B+\angle D$
2. נחסום את המרובע במעגל.
3. בניית עזר: נקצה ישר מקודקוד B החותך את הצלע AC בנקודה K כך ש $\angle ABK=\angle CBD$ (במקרה הפרטי של ריבוע הישר מתלכד עם האלכסון).
4. $\angle BAC=\angle BDC$, כיוון שהן זוויות היקפיות הנשענות על אותה הקשת ${\widehat {BC}}$.
5. משני הסעיפים הקודמים, נובע כי המשולשים AKB, DCB דומים, ולכן ${\frac {AK}{AB}}={\frac {CD}{BD}}$
6. $\angle ACB=\angle ADB$, כיוון שהן זוויות היקפיות הנשענות על אותה הקשת ${\widehat {AB}}$.
7. מבניית העזר, $\angle ABK=\angle CBD$. כמו -כן $\angle ABD=\angle ABK+\angle KBD$ ו- $\angle CBK=\angle CBD+\angle KBD$, ולכן $\angle ABD=\angle CBK$.
8. משני הסעיפים הקודמים, נובע כי המשולשים KBC, ABD דומים, ולכן ${\frac {CK}{BC}}={\frac {DA}{BD}}$
9. מאחר ש -AK/AB = CD/BD ו- CK/BC = DA/BD, אזי:
   1. AK·BD = AB·CD ו- CK·BD = BC·DA;
   2. נחבר את שני השוויונות הנ"ל ונקבל: AB·CD + BC·DA = (AK+CK)·BD ;
   3. אבל AK+CK = AC ולכן AC·BD = AB·CD + BC·DA. מ.ש.ל.

אי-שוויון תלמי והכיוון ההפוך למשפט

מרובע שלא ניתן לחסום במעגל

כל מרובע ABCD מקיים את אי-השוויון ${\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {BC}}\cdot {\overline {DA}}\geq {\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}$. שוויון מתקיים אם ורק אם ניתן לחסום את המרובע במעגל.

ראו גם

• משפט סימסון

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא משפט תלמי בוויקישיתוף

• משפט תלמי, באתר MathWorld (באנגלית)