Schwarzschild-metrika

Albert Einstein általános relativitáselméletének a Schwarzschild megoldás (vagy Schwarzschild-metrika) volt az első egzakt megoldása, amely leírja egy statikus gömbszimmetrikus objektum gravitációs terét a gravitáló test felszínén kívül. A megoldás során feltételezte, hogy az objektum elektromágnesesen semleges, és a kozmológiai állandó zérus. Az elméleti asztrofizikában széles körben használt lassan forgó objektumok gravitációs terének modellezésére.

Történet

A Schwarzschild megoldást Karl Schwarzschild tiszteletére nevezzük Schwarzschild-metrikának, mert ő volt aki először talált egzakt megoldást az Einstein által 1916-ban publikált általános relativitáselméletben.

Schwarzschild az eredeti megoldásban más R koordinátát használt $R=(r^{3}+{\alpha }^{3})^{1/3}$. A metrika jelenlegi formája David Hilberttől származik.

A Schwarzschild-metrika

Schwarzschild koordinátákban, a Schwarzschild metrika alakja:

$c^{2}{d\tau }^{2}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}dt^{2}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)^{-1}dr^{2}-r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}\right)$

ahol:

• τ a saját idő
• c a fénysebesség
• t az idő koordináta
• r a radiális koordináta
• θ és φ a két szögkoordináta
• r_s a Schwarzschild-sugár ami a tömeggel M kifejezve r_s = 2GM/c², ahol G a gravitációs állandó.

Ez a megoldás határesetben megegyezik a newtoni fizika egy tömegpont gravitációs terét leíró megoldásával.

A Schwarzschild-metrika izotrop koordinátázása

A metrikát felírhatjuk az Eddington féle izotrop koordinátakban (r ≥ 2GM/c²).

Az

$r=r_{1}{\left(1+{\frac {GM}{2c^{2}r_{1}}}\right)}^{2}\,$

radiális koordináta helyett az r₁-et használva

$c^{2}{d\tau }^{2}={\frac {(1-{\frac {GM}{2c^{2}r_{1}}})^{2}}{(1+{\frac {GM}{2c^{2}r_{1}}})^{2}}}\,c^{2}{dt}^{2}-\left(1+{\frac {GM}{2c^{2}r_{1}}}\right)^{4}\left(dr_{1}^{2}+r_{1}^{2}d\theta ^{2}+r_{1}^{2}\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}\right)\,.$

ahol az x, y, z izotróp koordináták

$x=r_{1}\,\sin \theta \,\cos \phi \,,\quad y=r_{1}\,\sin \theta \,\sin \phi \,,\quad z=r_{1}\,\cos \theta \,,$

és

$r_{1}={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\,,$

így a metrika

$c^{2}{d\tau }^{2}={\frac {(1-{\frac {GM}{2c^{2}r_{1}}})^{2}}{(1+{\frac {GM}{2c^{2}r_{1}}})^{2}}}\,c^{2}{dt}^{2}-\left(1+{\frac {GM}{2c^{2}r_{1}}}\right)^{4}(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2})\,.$

Fekete lyuk megoldások

Az ún. nevezett fekete lyuk megoldások rendelkezhetnek perdülettel, vagy nem (nem forgó, tehát gömbszimmetrikus megoldás). Lehetnek elektromosan töltöttek, vagy töltés nélküliek. Ezt a négy lehetőséget (2x2) szemlélteti az alábbi táblázat. A forgásmentes töltetlen tömeg(pont) gravitációs terét írja le a Schwarzschild megoldás. A forgásmentes, de elektromosan töltött test külső terét írja le a Reissner–Nordström-metrika, melyet Hans Reissner és Gunnar Nordström talált meg 1918-ban. A forgó töltetlen test terét írja le a Kerr-metrika, melyet 1963-ban Roy Kerr publikált. Végül a forgó elektromosan töltött test külső terét a Newman által talált metrika írja le, melyet Kerr–Newman-metrikának nevezünk.

	Nem forgó (J = 0)	Forgó (J ≠ 0)
Töltés nélküli (Q = 0)	Schwarzschild	Kerr-metrika
Elektromosan töltött (Q ≠ 0)	Reissner–Nordström-metrika	Kerr–Newman metrika

A metrika más alakjai

• Lemaitre koordináták
• Eddington–Finkelstein koordináták
• Kruskal–Szekeres koordináták
• Novikov koordináták
• Gullstrand–Painlevé koordináták

Irodalom

• Schwarzschild, K. (1916). Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einstein'schen Theorie. Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften 1, 189–196.
  • az eredeti cikk szkennelve
  • az eredeti cikk a Wikisource-on
  • Antoci és Loinger angol fordítása
  • commentárok
• Schwarzschild, K. (1916). Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit. Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften 1, 424-?.
• Flamm, L (1916). „Beiträge zur Einstein'schen Gravitationstheorie”. Physikalische Zeitschrift 17, 448–?. o. 
• Ronald Adler, Maurice Bazin, Menahem Schiffer, Introduction to General Relativity (Second Edition), (1975) McGraw-Hill New York; ISBN 0-07-000423-4. 6. fejezet.
• Lev Davidovich Landau and Evgeny Mikhailovich Lifshitz, The Classical Theory of Fields, Fourth Revised English Edition, Course of Theoretical Physics, Volume 2, (1951) Pergamon Press, Oxford; ISBN 0-08-025072-6. 12. fejezet.
• Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation, (1970) W.H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0. 31-32. fejezet.
• Steven Weinberg, Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity, (1972) John Wiley & Sons, New York; ISBN 0-471-92567-5. 8. fejezet.