Arcocotangente

In matematica, e in particolare in trigonometria, l'arcocotangente è la funzione definita come funzione inversa della cotangente di un angolo nell'intervallo $\left(0,\pi \right)$.

Notazione

Le funzioni arcotangente e arcocotangente a raffronto

La notazione matematica dell'arcocotangente è $\operatorname {arccot}$ o $\mathrm {arccotg}$; è comune anche la scrittura piuttosto ambigua $\cot ^{-1}$.

Proprietà

L'arcocotangente è una funzione continua e strettamente decrescente, definita per tutti i numeri reali:

$\operatorname {arccot} \colon \mathbb {R} \to \left(0,\pi \right).$

Esistono inoltre i limiti

$\lim _{x\rightarrow +\infty }\operatorname {arccot} x=0,$

e

$\lim _{x\rightarrow -\infty }\operatorname {arccot} x=\pi .$

Il suo grafico è simmetrico rispetto al punto $\left(0,{\frac {\pi }{2}}\right)$, essendo $\operatorname {arccot} x=\pi -\operatorname {arccot} \left(-x\right)$.

La derivata della funzione arcocotangente è:

${\frac {d}{dx}}\operatorname {arccot} x=-{\frac {1}{1+x^{2}}}={\frac {d}{dx}}\arctan {\frac {1}{x}}.$

La serie di Taylor corrispondente è:

$\operatorname {arccot} x={\frac {\pi }{2}}-\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}={\frac {\pi }{2}}-x+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}-\cdots .$

Per via della già descritta simmetria vale la relazione per argomenti negativi:

$\operatorname {arccot} \left(-x\right)=\pi -\operatorname {arccot} x.$

Applicazioni

In un triangolo rettangolo l'ampiezza in radianti di un angolo acuto equivale all'arcocotangente del rapporto fra il suo cateto adiacente e il cateto opposto.

Bibliografia

• Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu Volume 5, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0433-4.
• Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Nella Dodero, Nuovo Corso di Trigonometria, Ghisetti e Corvi, 2010, ISBN 978-88-538-0433-4.

Voci correlate

• Trigonometria
• Cotangente
• Arcotangente
• Funzione inversa

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• arcocotangente, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
• arccot, in Dizionario delle scienze fisiche, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1996.
• arcocotangènte, su Vocabolario Treccani, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
• arcocotangènte, su sapere.it, De Agostini.
• arcocotangente, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Arcocotangente, su MathWorld, Wolfram Research.