Distribuzione chi quadrato
Distribuzione | |
---|---|
Funzione di densità di probabilità | |
Funzione di ripartizione | |
Parametri | (gradi di libertà) |
Supporto | |
Funzione di densità | |
Funzione di ripartizione | |
Valore atteso | |
Mediana | circa |
Moda | |
Varianza | |
Indice di asimmetria | |
Curtosi | |
Entropia | |
Funzione generatrice dei momenti | per |
Funzione caratteristica | |
Nella teoria della probabilità la distribuzione chi quadrato (o chi-quadro,[1] indicata con ) è la distribuzione di probabilità della somma dei quadrati di variabili aleatorie normali indipendenti.
In statistica, il test chi quadrato è un particolare test di verifica d'ipotesi che fa uso di questa distribuzione.
Definizione
[modifica | modifica wikitesto]La distribuzione è la distribuzione di probabilità della variabile aleatoria definita come
dove sono variabili aleatorie indipendenti con distribuzione normale standard . Il parametro è detto "numero di gradi di libertà".
Storia
[modifica | modifica wikitesto]Ernst Abbe (1840-1905), un ottico, fu colui che scoprì la analizzando la sommatoria di variabili casuali normali standardizzate e indipendenti al quadrato, che produce una nuova variabile casuale, la appunto.[2]
Proprietà
[modifica | modifica wikitesto]Somma
[modifica | modifica wikitesto]Per definizione, la somma di due variabili aleatorie indipendenti con distribuzioni e è una variabile aleatoria con distribuzione :
Più in generale la somma di variabili aleatorie indipendenti con distribuzioni è una variabile aleatoria con distribuzione
Caratteristiche
[modifica | modifica wikitesto]Una generalizzazione della distribuzione è la distribuzione Gamma:
In particolare una variabile aleatoria con distribuzione ha
- per
dove indica la funzione Gamma, che assume i valori
- per dispari
- per pari
(i simboli e indicano rispettivamente il fattoriale e il doppio fattoriale);
- funzione di ripartizione data da
dove
Limite centrale
[modifica | modifica wikitesto]Per il teorema centrale del limite la distribuzione converge ad una distribuzione normale per che tende all'infinito. Più precisamente, se segue la distribuzione , allora la distribuzione di probabilità di
tende a quella della normale standard
Per avere una convergenza più rapida talvolta vengono considerate o
Generalizzazioni
[modifica | modifica wikitesto]La distribuzione χ2 è un caso particolare della legge Γ e ricade nella terza famiglia di distribuzioni di Pearson.
La distribuzione χ2 non centrale è data dalla somma dei quadrati di variabili aleatorie indipendenti aventi distribuzioni normali ridotte, ma non necessariamente centrate, :
Un'altra generalizzazione prevede di considerare una forma quadratica sul vettore aleatorio
Utilizzo in statistica
[modifica | modifica wikitesto]In statistica la distribuzione χ2 viene utilizzata per condurre il test di verifica d'ipotesi χ2 e per stimare una varianza, ed è legato alle distribuzioni di Student e di Fisher-Snedecor.
Il caso più comune è quello di variabili aleatorie indipendenti di distribuzione normale e media , dove lo stimatore della varianza
segue la distribuzione
Per valori di superiori a 30 (o a 50) la distribuzione viene approssimata con una distribuzione normale.
Tabella dei valori critici
[modifica | modifica wikitesto]La seguente tabella illustra alcuni valori critici più comunemente utilizzati. In corrispondenza dei valori sulla riga e α sulla colonna si trova il valore critico , ovvero il valore per il quale una variabile aleatoria di distribuzione verifica
k \ (1-α) | 0,001 | 0,002 | 0,005 | 0,01 | 0,02 | 0,05 | 0,1 | 0,2 | 0,5 | 0,75 | 0,8 | 0,9 | 0,95 | 0,98 | 0,99 | 0,995 | 0,998 | 0,999 |
1 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | 0,001 | 0,004 | 0,016 | 0,064 | 0,455 | 1,323 | 1,642 | 2,706 | 3,841 | 5,412 | 6,635 | 7,879 | 9,550 | 10,828 |
2 | 0,002 | 0,004 | 0,010 | 0,020 | 0,040 | 0,103 | 0,211 | 0,446 | 1,386 | 2,773 | 3,219 | 4,605 | 5,991 | 7,824 | 9,210 | 10,597 | 12,429 | 13,816 |
3 | 0,024 | 0,039 | 0,072 | 0,115 | 0,185 | 0,352 | 0,584 | 1,005 | 2,366 | 4,108 | 4,642 | 6,251 | 7,815 | 9,837 | 11,345 | 12,838 | 14,796 | 16,266 |
4 | 0,091 | 0,129 | 0,207 | 0,297 | 0,429 | 0,711 | 1,064 | 1,649 | 3,357 | 5,385 | 5,989 | 7,779 | 9,488 | 11,668 | 13,277 | 14,860 | 16,924 | 18,467 |
5 | 0,210 | 0,280 | 0,412 | 0,554 | 0,752 | 1,145 | 1,610 | 2,343 | 4,351 | 6,626 | 7,289 | 9,236 | 11,070 | 13,388 | 15,086 | 16,750 | 18,907 | 20,515 |
6 | 0,381 | 0,486 | 0,676 | 0,872 | 1,134 | 1,635 | 2,204 | 3,070 | 5,348 | 7,841 | 8,558 | 10,645 | 12,592 | 15,033 | 16,812 | 18,548 | 20,791 | 22,458 |
7 | 0,598 | 0,741 | 0,989 | 1,239 | 1,564 | 2,167 | 2,833 | 3,822 | 6,346 | 9,037 | 9,803 | 12,017 | 14,067 | 16,622 | 18,475 | 20,278 | 22,601 | 24,322 |
8 | 0,857 | 1,038 | 1,344 | 1,646 | 2,032 | 2,733 | 3,490 | 4,594 | 7,344 | 10,219 | 11,030 | 13,362 | 15,507 | 18,168 | 20,090 | 21,955 | 24,352 | 26,124 |
9 | 1,152 | 1,370 | 1,735 | 2,088 | 2,532 | 3,325 | 4,168 | 5,380 | 8,343 | 11,389 | 12,242 | 14,684 | 16,919 | 19,679 | 21,666 | 23,589 | 26,056 | 27,877 |
10 | 1,479 | 1,734 | 2,156 | 2,558 | 3,059 | 3,940 | 4,865 | 6,179 | 9,342 | 12,549 | 13,442 | 15,987 | 18,307 | 21,161 | 23,209 | 25,188 | 27,722 | 29,588 |
11 | 1,834 | 2,126 | 2,603 | 3,053 | 3,609 | 4,575 | 5,578 | 6,989 | 10,341 | 13,701 | 14,631 | 17,275 | 19,675 | 22,618 | 24,725 | 26,757 | 29,354 | 31,264 |
12 | 2,214 | 2,543 | 3,074 | 3,571 | 4,178 | 5,226 | 6,304 | 7,807 | 11,340 | 14,845 | 15,812 | 18,549 | 21,026 | 24,054 | 26,217 | 28,300 | 30,957 | 32,909 |
13 | 2,617 | 2,982 | 3,565 | 4,107 | 4,765 | 5,892 | 7,042 | 8,634 | 12,340 | 15,984 | 16,985 | 19,812 | 22,362 | 25,472 | 27,688 | 29,819 | 32,535 | 34,528 |
14 | 3,041 | 3,440 | 4,075 | 4,660 | 5,368 | 6,571 | 7,790 | 9,467 | 13,339 | 17,117 | 18,151 | 21,064 | 23,685 | 26,873 | 29,141 | 31,319 | 34,091 | 36,123 |
15 | 3,483 | 3,916 | 4,601 | 5,229 | 5,985 | 7,261 | 8,547 | 10,307 | 14,339 | 18,245 | 19,311 | 22,307 | 24,996 | 28,259 | 30,578 | 32,801 | 35,628 | 37,697 |
16 | 3,942 | 4,408 | 5,142 | 5,812 | 6,614 | 7,962 | 9,312 | 11,152 | 15,338 | 19,369 | 20,465 | 23,542 | 26,296 | 29,633 | 32,000 | 34,267 | 37,146 | 39,252 |
17 | 4,416 | 4,915 | 5,697 | 6,408 | 7,255 | 8,672 | 10,085 | 12,002 | 16,338 | 20,489 | 21,615 | 24,769 | 27,587 | 30,995 | 33,409 | 35,718 | 38,648 | 40,790 |
18 | 4,905 | 5,436 | 6,265 | 7,015 | 7,906 | 9,390 | 10,865 | 12,857 | 17,338 | 21,605 | 22,760 | 25,989 | 28,869 | 32,346 | 34,805 | 37,156 | 40,136 | 42,312 |
19 | 5,407 | 5,969 | 6,844 | 7,633 | 8,567 | 10,117 | 11,651 | 13,716 | 18,338 | 22,718 | 23,900 | 27,204 | 30,144 | 33,687 | 36,191 | 38,582 | 41,610 | 43,820 |
20 | 5,921 | 6,514 | 7,434 | 8,260 | 9,237 | 10,851 | 12,443 | 14,578 | 19,337 | 23,828 | 25,038 | 28,412 | 31,410 | 35,020 | 37,566 | 39,997 | 43,072 | 45,315 |
21 | 6,447 | 7,070 | 8,034 | 8,897 | 9,915 | 11,591 | 13,240 | 15,445 | 20,337 | 24,935 | 26,171 | 29,615 | 32,671 | 36,343 | 38,932 | 41,401 | 44,522 | 46,797 |
22 | 6,983 | 7,636 | 8,643 | 9,542 | 10,600 | 12,338 | 14,041 | 16,314 | 21,337 | 26,039 | 27,301 | 30,813 | 33,924 | 37,659 | 40,289 | 42,796 | 45,962 | 48,268 |
23 | 7,529 | 8,212 | 9,260 | 10,196 | 11,293 | 13,091 | 14,848 | 17,187 | 22,337 | 27,141 | 28,429 | 32,007 | 35,172 | 38,968 | 41,638 | 44,181 | 47,391 | 49,728 |
24 | 8,085 | 8,796 | 9,886 | 10,856 | 11,992 | 13,848 | 15,659 | 18,062 | 23,337 | 28,241 | 29,553 | 33,196 | 36,415 | 40,270 | 42,980 | 45,559 | 48,812 | 51,179 |
25 | 8,649 | 9,389 | 10,520 | 11,524 | 12,697 | 14,611 | 16,473 | 18,940 | 24,337 | 29,339 | 30,675 | 34,382 | 37,652 | 41,566 | 44,314 | 46,928 | 50,223 | 52,620 |
26 | 9,222 | 9,989 | 11,160 | 12,198 | 13,409 | 15,379 | 17,292 | 19,820 | 25,336 | 30,435 | 31,795 | 35,563 | 38,885 | 42,856 | 45,642 | 48,290 | 51,627 | 54,052 |
27 | 9,803 | 10,597 | 11,808 | 12,879 | 14,125 | 16,151 | 18,114 | 20,703 | 26,336 | 31,528 | 32,912 | 36,741 | 40,113 | 44,140 | 46,963 | 49,645 | 53,023 | 55,476 |
28 | 10,391 | 11,212 | 12,461 | 13,565 | 14,847 | 16,928 | 18,939 | 21,588 | 27,336 | 32,620 | 34,027 | 37,916 | 41,337 | 45,419 | 48,278 | 50,993 | 54,411 | 56,892 |
29 | 10,986 | 11,833 | 13,121 | 14,256 | 15,574 | 17,708 | 19,768 | 22,475 | 28,336 | 33,711 | 35,139 | 39,087 | 42,557 | 46,693 | 49,588 | 52,336 | 55,792 | 58,301 |
30 | 11,588 | 12,461 | 13,787 | 14,953 | 16,306 | 18,493 | 20,599 | 23,364 | 29,336 | 34,800 | 36,250 | 40,256 | 43,773 | 47,962 | 50,892 | 53,672 | 57,167 | 59,703 |
35 | 14,688 | 15,686 | 17,192 | 18,509 | 20,027 | 22,465 | 24,797 | 27,836 | 34,336 | 40,223 | 41,778 | 46,059 | 49,802 | 54,244 | 57,342 | 60,275 | 63,955 | 66,619 |
40 | 17,916 | 19,032 | 20,707 | 22,164 | 23,838 | 26,509 | 29,051 | 32,345 | 39,335 | 45,616 | 47,269 | 51,805 | 55,758 | 60,436 | 63,691 | 66,766 | 70,618 | 73,402 |
45 | 21,251 | 22,477 | 24,311 | 25,901 | 27,720 | 30,612 | 33,350 | 36,884 | 44,335 | 50,985 | 52,729 | 57,505 | 61,656 | 66,555 | 69,957 | 73,166 | 77,179 | 80,077 |
50 | 24,674 | 26,006 | 27,991 | 29,707 | 31,664 | 34,764 | 37,689 | 41,449 | 49,335 | 56,334 | 58,164 | 63,167 | 67,505 | 72,613 | 76,154 | 79,490 | 83,657 | 86,661 |
Derivazione
[modifica | modifica wikitesto]Derivazione della funzione di densità per un grado di libertà
[modifica | modifica wikitesto]Sia Y = X2, dove X è una variabile casuale normalmente distribuita con media nulla e varianza unitaria (X ~ N(0,1)).
Allora, se , mentre, se .
dove e sono, rispettivamente, la funzione di probabilità cumulata e la funzione di densità.
Si ha quindi: .
Derivazione della funzione di densità per due gradi di libertà
[modifica | modifica wikitesto]È possibile derivare la distribuzione con 2 gradi di libertà partendo da quella con un grado.
Siano e due variabili casuali indipendenti tali che e .
Dall'assunto di indipendenza segue che la loro funzione di probabilità congiunta è:
Siano e , abbiamo che:
o
Data la simmetria, possiamo prendere la prima coppia di soluzioni e moltiplicare il risultato per 2.
Lo jacobiano è:
Possiamo quindi passare da a :
La distribuzione marginale di è quindi:
Ponendo , l'equazione diventa:
da cui:
Derivazione della funzione di densità per k gradi di libertà
[modifica | modifica wikitesto]Un campione di realizzazioni di una variabile normale standard è rappresentabile come un punto in uno spazio k-dimensionale. La distribuzione della somma dei quadrati sarà:
dove è la funzione di densità di una distribuzione normale standard e è una superficie -dimensionale nello spazio -dimensionale per cui vale:
Tale superficie è una sfera dimensionale con raggio .
Poiché è costante, può essere portato fuori dall'integrale:
L'integrale non è altro che l'area della sfera moltiplicata per lo spessore infinitesimo della stessa, ovvero:
Sostituendo, notando che , e semplificando otteniamo infine:
da cui:
Note
[modifica | modifica wikitesto]- ^ Ross, 2003, p. 188.
- ^ Un documento riguardo al lavoro di Abbe
Bibliografia
[modifica | modifica wikitesto]- Sheldon M. Ross, Probabilità e statistica per l'ingegneria e le scienze, Trento, Apogeo, 2003, ISBN 88-7303-897-2.
Voci correlate
[modifica | modifica wikitesto]- Distribuzione chi quadrato non centrale
- Distribuzione di Fisher-Snedecor
- Distribuzione normale
- Distribuzione t di Student
- Ernst Abbe
- Teoremi centrali del limite
- Test chi quadrato
- Variabili dipendenti e indipendenti
- Varianza
- Analisi delle corrispondenze
Altri progetti
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Collegamenti esterni
[modifica | modifica wikitesto]- (EN) Eric W. Weisstein, Distribuzione chi quadrato, su MathWorld, Wolfram Research.
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