La covarianza di due variabili aleatorie
e
è il valore atteso del prodotto delle loro distanze dalla media:
La covarianza di
e
può anche essere espressa come la differenza tra il valore atteso del loro prodotto e il prodotto dei loro valori attesi:
Infatti per la linearità del valore atteso risulta
La covarianza rispetta le seguenti proprietà, per variabili aleatorie
,
e
, e costanti
e
:
Due variabili aleatorie indipendenti hanno covarianza nulla, poiché dalla loro indipendenza segue
Due variabili aleatorie che hanno covarianza nulla sono incorrelate.
Due variabili aleatorie dipendenti possono essere incorrelate. Ad esempio, se
è una variabile aleatoria di legge uniforme sull'intervallo
e
, allora
La covarianza può essere considerata una generalizzazione della varianza
e compare come termine di correzione nella relazione
Più in generale, per variabili aleatorie
e
vale
come caso particolare di
In statistica la covarianza di due variabili statistiche
e
, indicata come
, è un indice di variabilità congiunta.
Su una popolazione di
osservazioni congiunte
, di rispettive medie
e
, la covarianza osservata è
Uno stimatore della covarianza di
osservazioni congiunte
può essere ottenuto correggendo la formula della covarianza, dividendo per il numero di gradi di libertà. In questo caso il numero di gradi di libertà è dato dal numero delle osservazioni,
, a cui va sottratto il numero di stimatori utilizzati nel computo della covarianza. Nella covarianza entrano le medie campionarie delle
, e si può dimostrare che il computo di queste medie corrisponde alla sottrazione di 1 solo grado di libertà (non due, come ci si potrebbe aspettare). Perciò lo stimatore della covarianza è dato da
Lo stimatore della covarianza è anche detto covarianza campionaria.
La varianza e la covarianza intervengono per definire l'indice di correlazione di Bravais-Pearson
La covarianza è limitata dalla disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, infatti siano
e
i vettori degli scarti degli
e
rispetto alle relative medie, si può applicare la diseguaglianza ottenendo
che equivale a scrivere
Moltiplicando per Un fattore
entrambi i lati si ottiene la relazione
dove
e
sono le deviazioni standard per le due variabili.
Nel caso in cui
possiamo dire che la covarianza è limitata nell'intervallo
Infatti, l'espressione generale per la deviazione standard di
è
Il valore massimo (minimo), per monotonia delle funzioni, sarà ottenuto in corrispondenza di
(
), quindi il valore corrispondente di
massimo sarà
Osserviamo che il valore massimo è dato dalla somma diretta dei contributi delle incertezze tipo moltiplicate per i relativi coefficienti ottenuti linearizzando la relazione. Si dimostra anche che tale formula è generalizzabile al caso di una funzione dipendente da
variabili.