Polinomio di Legendre
In matematica per funzioni di Legendre si intendono le soluzioni dell'equazione di Legendre, un'equazione differenziale ordinaria che si incontra spesso nella fisica e in vari settori tecnologici: ad esempio nella soluzione in coordinate sferiche dell'equazione di Laplace e di equazioni differenziali alle derivate parziali. Queste funzioni sono così chiamate in onore di Adrien-Marie Legendre, e spesso intervengono nella soluzione dell'equazione di Schrödinger.
Definizione
modificaL'equazione di Legendre si può risolvere con metodi standard delle serie di potenze. Si hanno soluzioni date da serie convergenti per . Si hanno soluzioni convergenti anche per purché sia un intero non negativo. In tal caso le soluzioni al variare di formano una successione polinomiale detta successione dei polinomi di Legendre.
Il polinomio di Legendre ha grado e può essere espresso mediante la formula di Rodriguez:
I polinomi di Legendre sono polinomi ortogonali nell'intervallo rispetto al prodotto interno L2:
Qui denota la delta di Kronecker, uguale a se e uguale a in caso contrario.
Una costruzione alternativa dei polinomi di Legendre consiste nell'effettuare il procedimento di Gram-Schmidt per la ortogonalizzazione della successione polinomiale e poi moltiplicare i nuovi polinomi ottenuti per con che indica l' -esimo polinomio di Legendre.
Questi sono i primi polinomi di Legendre:
Bibliografia
modifica- (EN) Milton Abramowitz e Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Mineola, Dover Publications, 1972. (V. cap. 8 e cap. 22.)
- (EN) Byerly, William Elwood (1893) An elementary treatise on Fourier's series and spherical, cylindrical, and ellipsoidal harmonics with applications to problems in mathematical physics (cap. I e cap. V)
- (EN) Todhunter, Isaac (1875) An elementary treatise on Laplace's functions, Lamé's functions and Bessel's functions, MacMillan (v. pp. 7-117)
- (DE) Heine, Eduard (1878) Handbuch der Kugelfunctionen, Theorie und Anwendungen (primera parte), Reimer
- (DE) Heine, Eduard (1881) Handbuch der Kugelfunctionen Theorie und Anwendungen (seconda parte), Reimer
Voci correlate
modificaAltri progetti
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Collegamenti esterni
modifica- (EN) Eric W. Weisstein, Polinomio di Legendre, su MathWorld, Wolfram Research.
- http://www.octave.org I polinomi di Legendre, come i polinomi associati, possono essere calcolati numericamente mediante funzione legendre del programma GNU Octave (distribuito con la licenza GPL nel modulo contribuito octave-forge/specfun di octave v. 2.1.35 o successive
- https://www.gnu.org/software/gsl/gsl.html
Controllo di autorità | Thesaurus BNCF 38392 · LCCN (EN) sh85075779 · GND (DE) 4333222-5 · BNF (FR) cb12122983h (data) · J9U (EN, HE) 987007560402505171 · NDL (EN, JA) 00567364 |
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