Risposta impulsiva

Nella teoria dei sistemi, la risposta impulsiva o risposta all'impulso di un sistema dinamico è la sua uscita quando è soggetto ad un ingresso a Delta di Dirac; viene utilizzata per descrivere la risposta in frequenza di un sistema dinamico ad una perturbazione generica. La delta di Dirac vista come "funzione" contiene equamente tutte le frequenze, e si presta particolarmente bene allo studio teorico nel dominio della frequenza di un sistema lineare. Il comportamento ingresso-uscita di un sistema dinamico lineare stazionario (LTI) è completamente caratterizzato dalla sua risposta impulsiva, la cui trasformata di Laplace viene detta funzione di trasferimento del sistema LTI.

Schema di risposta all'impulso

Sistemi LTI

L'uscita $y(t)$ di un sistema dinamico lineare stazionario (LTI) a tempo continuo soggetto ad un segnale in ingresso $x(t)$ è descritta dalla convoluzione:

$y(t)=x(t)*h(t)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t-\tau )\cdot h(\tau )\,\operatorname {d} \tau =\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot h(t-\tau )\,\operatorname {d} \tau$

dove $h(t)$ è la risposta del sistema quando l'ingresso $x(t)$ è una funzione a delta di Dirac. Per sistemi LTI $h$ è l'antitrasformata di Laplace della funzione di trasferimento. L'uscita $y$ è quindi proporzionale alla media dell'ingresso $x$ pesata dalla funzione $h(-\tau )$, traslata di un tempo $t$. L'operazione di convoluzione può essere particolarmente difficile da effettuare per via analitica, e viene spesso eseguita come prodotto algebrico nel dominio delle frequenze, grazie al teorema di convoluzione.

Se la funzione $h(\tau )$ è nulla quando $\tau <0$ allora $y(t)$ dipende soltanto dai valori assunti da $x$ precedentemente al tempo $t$, ed il sistema è detto causale.

Bibliografia

• (EN) James D. Hamilton, Difference Equations, in Time Series Analysis, Princeton University Press, 1994, p. 5, ISBN 0-691-04289-6.

Voci correlate

• Convoluzione
• Delta di Dirac
• Funzione di trasferimento
• Risposta in frequenza
• Sistema dinamico lineare stazionario
• Soluzione fondamentale

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