Teorema dell'intorno tubolare
In geometria, il teorema dell'intorno tubolare è un importante strumento della topologia differenziale, utile in presenza di una varietà differenziabile contenuta in un'altra varietà di dimensione più grande. Si tratta di uno dei primi risultati topologici in cui è necessaria la struttura differenziabile: il teorema può non essere valido infatti nell'ambito delle varietà topologiche.
Enunciato
modificaSia una varietà differenziabile di dimensione e una sottovarietà differenziabile compatta di dimensione . Esiste un intorno aperto di diffeomorfo ad un fibrato su , con fibra omeomorfa ad una palla
in cui giace come la sezione nulla.
Tale intorno viene detto intorno tubolare di in . L'intorno è unico a meno di isotopia in (e quindi in particolare a meno di diffeomorfismo).
Il fibrato
modificaLocale e globale
modificaLocalmente, l'intorno tubolare è del tipo , dove è un aperto di , e giace come . Come in ogni fibrato, il fatto che sia localmente un prodotto non garantisce che lo sia anche globalmente.
Ad esempio, l'intorno tubolare di una curva semplice chiusa in una superficie è un fibrato, la cui fibra è un intervallo . Globalmente, l'intorno tubolare può essere omeomorfo ad un prodotto , cioè un anello, oppure ad un nastro di Möbius.
Codimensione uno
modificaNel caso in cui sia orientabile e abbia codimensione , l'intorno tubolare è determinato a meno di diffeomorfismo da . Se è anch'essa orientabile, è diffeomorfo al prodotto . In generale, è l'unico fibrato orientabile con fibra e base .
Retratto di deformazione
modificaLa sottovarietà è sempre un retratto di deformazione forte del suo intorno tubolare . In particolare, e sono omotopicamente equivalenti.
Voci correlate
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Collegamenti esterni
modifica- (EN) Eric W. Weisstein, Teorema dell'intorno tubolare, su MathWorld, Wolfram Research.