Teorema di non discriminazione quantistico

Il teorema di non discriminazione quantistico afferma che, dati i postulati della meccanica quantistica, non è possibile distinguere con certezza tra due stati non ortogonali di un sistema quantistico di cui si disponga un'unica copia. È invece possibile determinare lo stato con un errore. È possibile inoltre ridurre l'errore ad una quantità piccola a piacere, con tecniche come la tomografia quantistica, aumentando opportunamente le copie a disposizione.

Il teorema è equivalente al teorema di no-cloning quantistico: clonando un numero sufficiente di volte lo stato sarebbe infatti idealmente possibile determinarlo con errore piccolo a piacere. È notevole il fatto che pure essendo i risultati dei due teoremi in accordo, essi derivino da postulati differenti. Il teorema di no-cloning infatti utilizza unicamente il postulato di evoluzione unitaria, mentre il teorema di non discriminazione si basa sul postulato di misura.

Il teorema è inoltre legato ad altri risultati di teoria dell'informazione quantistica. In particolare impedisce il trasferimento di informazione più veloce della luce nel caso del teletrasporto quantistico.

Enunciato del teorema

Si consideri un sistema quantistico H e si supponga di voler determinare con sicurezza se H è in uno dei due stati non ortogonali

$|\psi _{1}\rangle ,|\psi _{2}\rangle ,\langle \psi _{1}|\psi _{2}\rangle =\beta \neq 0$.

Per ottenere ciò sarebbe necessario disporre di una POVM tale che

$\langle \psi _{j}|E_{i}|\psi _{j}\rangle =\delta _{ij}$.

ovvero di una misura che restituisca l'indice dello stato del sistema con probabilità uno.

Il teorema di non discriminazione afferma che una POVM con queste proprietà non può esistere.

Dimostrazione

La dimostrazione si limiterà per semplicità al caso del qubit. Il teorema è comunque vero in generale.

Si supponga per assurdo che la POVM esista. Allora dev'essere

$\langle \psi _{1}|E_{2}|\psi _{1}\rangle =0$.

In particolare

${\sqrt {E_{2}}}|\psi _{1}\rangle =0$

dove con ${\sqrt {E_{2}}}$ si è indicata l'unica radice quadrata positiva dell'operatore positivo $E_{2}$.

Si scriva ora

$|\psi _{2}\rangle =\alpha |\phi \rangle +\beta |\psi _{1}\rangle$

dove $|\phi \rangle$ e $|\psi _{1}\rangle$ formano una base ortonormale per il qubit e dev'essere

$|\alpha |^{2}=1-|\langle \psi _{1}|\psi _{2}\rangle |^{2}=1-|\beta |^{2}<1$.

Allora

$\langle \psi _{2}|E_{2}|\psi _{2}\rangle =|\alpha |^{2}\langle \phi |E_{2}|\phi \rangle <1$

dato che

$\langle \phi |E_{2}|\phi \rangle \leq 1$.

Ma per ipotesi

$\langle \psi _{2}|E_{2}|\psi _{2}\rangle =1$.

Si è quindi giunti ad una contraddizione.

Voci correlate

• Teorema di no-cloning quantistico
• Teletrasporto quantistico
• Informazione quantistica