Quantile

In statistica il quantile di ordine α o α-quantili (con α un numero reale nell'intervallo [0,1]) è un valore q_α che divide la popolazione in due parti, proporzionali ad α e (1-α) e caratterizzate da valori rispettivamente minori e maggiori di q_α. Per poter calcolare un quantile di ordine α è necessario che il carattere sia almeno ordinato, cioè sia possibile definire un ordinamento sulle modalità.

Calcolo dei quantili

Il quantile di ordine α è la più piccola modalità q_α per cui la frequenza cumulata relativa, calcolata fino a q_α inclusa, raggiunge o supera α, ovvero tale che la somma delle frequenze relative fino a quella modalità (inclusa) sia almeno α. Di conseguenza la somma delle frequenze relative successive a quella modalità sarà non superiore ad 1-α. Il quantile non è necessariamente unico, soprattutto nel caso di caratteri qualitativi ordinati o quantitativi discreti. Nel caso si abbiano classi di valori si usa talvolta "supporre" che i valori siano distribuiti in modo uniforme all'interno di ciascuna classe, in modo da calcolare il quantile (per interpolazione) su una funzione continua.

In particolare il quantile di ordine 0 è un qualunque valore inferiore al minimo della popolazione; similmente il quantile di ordine 1 è un qualunque valore superiore al massimo della popolazione.

I quantili possono anche venire utilizzati per indicare delle classi di valori: ad esempio l'insieme della popolazione "entro il terzo decile" indica quel 30% di popolazione con i valori più bassi.

È importante sapere che il metodo di calcolo dei quantili non è univoco. Il metodo di calcolo descritto in questo paragrafo è solo uno dei possibili metodi. Vedere la pagina inglese per una trattazione più esaustiva.

I quantili in probabilità

Nel caso di una densità di probabilità la funzione di ripartizione F è continua e il quantile di ordine α è definito da F(q_α)=α. Questo quantile può non essere unico se la funzione di densità è nulla in un intervallo, ovvero se la funzione di ripartizione è costante ed assume il valore α per più di un valore q_α; ciononostante per ognuno di questi valori la popolazione viene correttamente divisa in due parti proporzionali ad α e (1-α).

Nel caso di una densità discreta il quantile di ordine α è un valore q_α nel quale la frequenza cumulata relativa raggiunge o supera α, ovvero tale che la somma delle frequenze fino a quel valore incluso sia almeno α e che la somma delle frequenze relative al di là di quel valore sia al più 1-α. In questo caso, oltre alla non unicità del quantile si può avere una divisione non proporzionale ad α e 1-α (del resto una popolazione finita non può essere divisa che in un numero finito di modi).

Particolari quantili

I quantili di ordini "semplici", ad esempio quelli espressi come frazioni (cioè quando α è un numero razionale), vengono anche chiamati con altri nomi. I quantili di ordini 1/n, 2/n, ..., (n-1)/n dividono la popolazione in n parti ugualmente popolate; il quantile di ordine α=m/n è detto m-esimo n-ile.

• La mediana è il quantile di ordine 1/2.
• I quartili sono i quantili di ordini 1/4, 2/4 e 3/4.

Altri particolari quantili sono:

• I quintili, di ordine m/5, dividono la popolazione in 5 parti uguali.
• I decili, di ordine m/10, dividono la popolazione in 10 parti uguali.
• I ventili, di ordine m/20, dividono la popolazione in 20 parti uguali.
• I centili, di ordine m/100, dividono la popolazione in 100 parti uguali. Vengono anche chiamati percentili, esprimendo l'ordine in percentuale: m/100=m%.

A causa della scrittura in frazioni, alcuni quantili hanno più di un nome: il secondo quartile è la mediana (2/4=1/2), ogni quintile è anche un decile (m/5=2m/10) e così via. Per lo stesso motivo il primo ed il terzo quartile sono rispettivamente le mediane della metà inferiore e della metà superiore della popolazione.

I ventili e i centili esprimono livelli di confidenza molto utilizzati: 1%, 5%, 95%, 99%.
La media aritmetica dei ventili dal primo al diciannovesimo è detta media ventile ed è uno stimatore robusto della media. I ventili sono anche utilizzati per definire indici di simmetria e curtosi.

Bibliografia

• G. Leti (1983): Statistica descrittiva, Bologna, Il Mulino, ISBN 88-15-00278-2.
• Sheldon M. Ross, 3.3.1 Percentili campionari, in Introduzione alla statistica, Apogeo Editore, 2008, ISBN 978-88-503-2622-8.
• Richard A. Johnson, 2.6 Quartili e percentili, in Probabilità e statistica per Ingegneria e Scienze, Pearson, 2007, ISBN 978-88-7192-348-2.
• Sheldon M. Ross, 2.3.3 Percentili campionari e box plot, in Probabilità e statistica per l'ingegneria e le scienze, Apogeo Editore, 2008, ISBN 978-88-503-2580-1.
• Francesca Cristante, Adriana Lis; Marco Sambin, III.3.9 Prime misure di posizione: percentili, in Statistica per psicologi, Firenze, Giunti Editore, 2001, ISBN 88-09-02176-2.

Voci correlate

• Quartile
• Mediana (statistica)
• Funzione di ripartizione
• Statistica
• Statistica descrittiva

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• Quantile, in Treccani.it – Enciclopedie on line, Roma, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
• Percentile, in Treccani.it – Enciclopedie on line, Roma, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.