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Quantile

punto di divisione che divide una serie di osservazioni in gruppi di uguali dimensioni
Versione del 24 apr 2014 alle 18:45 di 78.12.144.143 (discussione) (Nella definizione di quantile ho sostituito il concetto di frequenza assoluta con quello di frequenza relativa, ed ho specificato che il calcolo della frequenza cumulata relativa, quando debba essere maggiore o uguale ad alfa, include il quantile.)

In statistica il quantile di ordine α o α-quantili (con α un numero reale dell'intervallo [0,1]) è un valore qα che divide la popolazione in due parti, proporzionali ad α e (1-α) e caratterizzate da valori rispettivamente minori e maggiori di qα. Per poter calcolare un quantile di ordine α è necessario che il carattere sia almeno ordinato, cioè sia possibile definire un ordinamento sulle modalità.

Calcolo dei quantili

Il quantile di ordine α è una modalità qα per cui la frequenza cumulata relativa, calcolata fino a qα inclusa, raggiunge o supera α, ovvero tale che la somma delle frequenze relative fino a quella modalità (inclusa) sia almeno α e che la somma delle frequenze relative successive a quella modalità sia al più 1-α. Il quantile non è necessariamente unico, soprattutto nel caso di caratteri qualitativi ordinati o quantitativi discreti. Nel caso si abbiano classi di valori si usa talvolta "supporre" che i valori siano distribuiti in modo uniforme all'interno di ciascuna classe, in modo da calcolare il quantile (per interpolazione) su una funzione continua.

In particolare il quantile di ordine 0 è un qualunque valore inferiore al minimo della popolazione; similmente il quantile di ordine 1 è un qualunque valore superiore al massimo della popolazione.

I quantili possono anche venire utilizzati per indicare delle classi di valori: ad esempio l'insieme della popolazione "entro il terzo decile" indica quel 30% di popolazione con i valori più bassi.

I quantili in probabilità

Nel caso di una densità di probabilità la funzione di ripartizione F è continua e il quantile di ordine α è definito da F(qα)=α. Questo quantile può non essere unico se la funzione di densità è nulla in un intervallo, ovvero se la funzione di ripartizione è costante ed assume il valore α per più di un valore qα; ciononostante per ognuno di questi valori la popolazione viene correttamente divisa in due parti proporzionali ad α e (1-α).

Nel caso di una densità discreta il quantile di ordine α è un valore qα nel quale la frequenza cumulata relativa raggiunge o supera α, ovvero tale che la somma delle frequenze fino a quel valore incluso sia almeno α e che la somma delle frequenze relative al di là di quel valore sia al più 1-α. In questo caso, oltre alla non unicità del quantile si può avere una divisione non proporzionale ad α e 1-α (del resto una popolazione finita non può essere divisa che in un numero finito di modi).

Particolari quantili

I quantili di ordini "semplici", ad esempio quelli espressi come frazioni (cioè quando α è un numero razionale), vengono anche chiamati con altri nomi. I quantili di ordini 1/n, 2/n, ..., (n-1)/n dividono la popolazione in n parti ugualmente popolate; il quantile di ordine α=m/n è detto m-esimo n-ile.

  • La mediana è il quantile di ordine 1/2.
  • I quartili sono i quantili di ordini 1/4, 2/4 e 3/4.

Altri particolari quantili sono:

  • I quintili, di ordine m/5, dividono la popolazione in 5 parti uguali.
  • I decili, di ordine m/10, dividono la popolazione in 10 parti uguali.
  • I ventili, di ordine m/20, dividono la popolazione in 20 parti uguali.
  • I centili, di ordine m/100, dividono la popolazione in 100 parti uguali. Vengono anche chiamati percentili, esprimendo l'ordine in percentuale: m/100=m%.

A causa della scrittura in frazioni, alcuni quantili hanno più di un nome: il secondo quartile è la mediana (2/4=1/2), ogni quintile è anche un decile (m/5=2m/10) e così via. Per lo stesso motivo il primo ed il terzo quartile sono rispettivamente le mediane della metà inferiore e della metà superiore della popolazione.

I ventili e i centili esprimono livelli di confidenza molto utilizzati: 1%, 5%, 95%, 99%.
La media aritmetica dei ventili dal primo al diciannovesimo è detta media ventile ed è uno stimatore robusto della media. I ventili sono anche utilizzati per definire indici di asimmetria e curtosi.[senza fonte]

Frattile

Assegnato un valore P* di probabilità, esisterà uno e un solo valore di Xk tale che P*=P(X≤Xk)[non chiaro] (la variabile aleatoria X è minore o uguale a Xk con probabilità P*) oppure P*=P(X≥Xk) (la variabile aleatoria X è maggiore o uguale a Xk con probabilità P*); il valore Xk della variabile aleatoria X viene definito frattile se soddisfa una delle due uguaglianze, in particolare:

1- Si definisce "frattile superiore di ordine p%" quel valore della variabile aleatoria cui corrisponde la probabilità p% di essere superato cioè il valore al di sopra del quale ricade la percentuale p% dei valori aleatori
2- Si definisce "frattile inferiore di ordine p%" quel valore della variabile aleatoria cui corrisponde la probabilità p% di non essere superato cioè il valore al di sotto del quale ricade la percentuale p% dei valori aleatori

Bibliografia

Voci correlate

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