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Modifica di Quantile

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In [[statistica]] il '''quantile''' di ordine ''α'' o ''α''-quantili (con ''α'' un numero reale nell'[[Intervallo (matematica)|intervallo]] [0,1]) è un valore ''q<sub>α</sub>'' che divide la [[popolazione statistica|popolazione]] in due parti, proporzionali ad ''α'' e ''(1-α)'' e caratterizzate da valori rispettivamente minori e maggiori di ''q<sub>α</sub>''. Per poter calcolare un quantile di ordine ''α'' è necessario che il [[Carattere (statistica)|carattere]] sia almeno [[Carattere (statistica)#Classificazione|ordinato]], cioè sia possibile definire un [[Relazione d'ordine|ordinamento]] sulle [[Modalità (statistica)|modalità]].
[[File:Iqr with quantile.png|thumb|alt=(Q <sub> 3 </sub>, ∞). |Densità di probabilità di una [[distribuzione normale]] con quartili in evidenza. L'area sotto la curva rossa è la stessa negli intervalli (−∞,''Q''<sub>1</sub>), (''Q''<sub>1</sub>,''Q''<sub>2</sub>), (''Q''<sub>2</sub>,''Q''<sub>3</sub>) e (''Q''<sub>3</sub>,+∞)]]
In [[statistica]] il '''quantile''' di ordine ''α'' o ''α-quantile'' (con ''α'' un [[numero reale]] nell'[[Intervallo (matematica)|intervallo]] [0,1]) è un valore ''q<sub>α</sub>'' che divide la [[popolazione statistica|popolazione]] in due parti, proporzionali ad ''α'' e ''(1-α)'' e caratterizzate da valori rispettivamente minori e maggiori di ''q<sub>α</sub>''. Per poter calcolare un quantile di ordine ''α'' è necessario che il [[Carattere (statistica)|carattere]] sia almeno [[Carattere (statistica)#Classificazione|ordinato]], cioè sia possibile definire un [[Relazione d'ordine|ordinamento]] sulle [[Modalità (statistica)|modalità]].


== I quantili in statistica ==
== Calcolo dei quantili ==
Il quantile di ordine α è la più piccola [[Modalità (statistica)|modalità]] ''q<sub>α</sub>'' per cui la [[frequenza cumulata]] relativa, calcolata fino a ''q<sub>α</sub>'' inclusa,''<sub> </sub>''raggiunge o supera ''α'', ossia tale che la somma delle frequenze relative ''fino a'' quella [[Modalità (statistica)|modalità]] (inclusa) sia almeno ''α''. Di conseguenza la somma delle frequenze relative ''successive'' a quella [[Modalità (statistica)|modalità]] sarà non superiore a ''1-α''. Il quantile non è necessariamente unico, soprattutto nel caso di [[Carattere (statistica)|caratteri]] qualitativi ordinati o quantitativi discreti. Nel caso si abbiano [[Carattere (statistica)#Classi|classi]] di valori si usa talvolta "supporre" che i valori siano distribuiti in modo uniforme all'interno di ciascuna [[Carattere (statistica)#Classi|classe]], in modo da calcolare il quantile (per [[interpolazione]]) su una [[funzione continua]].
Il quantile di ordine α è la più piccola [[Modalità (statistica)|modalità]] ''q<sub>α</sub>'' per cui la [[frequenza cumulata]] relativa, calcolata fino a ''q<sub>α</sub>'' inclusa,''<sub> </sub>''raggiunge o supera ''α'', ovvero tale che la somma delle frequenze relative ''fino a'' quella [[Modalità (statistica)|modalità]] (inclusa) sia almeno ''α''. Di conseguenza la somma delle frequenze relative ''successive'' a quella [[Modalità (statistica)|modalità]] sarà non superiore ad ''1-α''. Il quantile non è necessariamente unico, soprattutto nel caso di [[Carattere (statistica)|caratteri]] qualitativi ordinati o quantitativi discreti. Nel caso si abbiano [[Carattere (statistica)#Classi|classi]] di valori si usa talvolta "supporre" che i valori siano distribuiti in modo uniforme all'interno di ciascuna [[Carattere (statistica)#Classi|classe]], in modo da calcolare il quantile (per [[interpolazione]]) su una [[funzione continua]].


In particolare il quantile di ordine 0 è un ''qualunque'' valore inferiore al minimo della [[popolazione statistica|popolazione]]; similmente il quantile di ordine 1 è un qualunque valore superiore al massimo della [[popolazione statistica|popolazione]].
In particolare il quantile di ordine 0 è un ''qualunque'' valore inferiore al minimo della [[popolazione statistica|popolazione]]; similmente il quantile di ordine 1 è un qualunque valore superiore al massimo della [[popolazione statistica|popolazione]].


I quantili possono anche venire utilizzati per indicare delle [[Carattere (statistica)#Classi|classi]] di valori: ad esempio l'insieme della [[popolazione statistica|popolazione]] "entro il terzo decile" indica quel 30% di [[popolazione statistica|popolazione]] con i valori più bassi.
I quantili possono anche venire utilizzati per indicare delle [[Carattere (statistica)#Classi|classi]] di valori: ad esempio l'insieme della [[popolazione statistica|popolazione]] "entro il terzo decile" indica quel 30% di [[popolazione statistica|popolazione]] con i valori più bassi.

È importante sapere che il metodo di calcolo dei quantili non è univoco. Il metodo di calcolo descritto in questo paragrafo è solo uno dei possibili metodi. Vedere la pagina inglese per una trattazione più esaustiva.


== I quantili in probabilità ==
== I quantili in probabilità ==
Nel caso di una [[densità di probabilità]] la [[funzione di ripartizione]] ''F'' è [[funzione continua|continua]] e il quantile di ordine ''α'' è definito da ''F(q<sub>α</sub>)=α''. Questo quantile può non essere unico se la funzione di densità è nulla in un intervallo, ovvero se la funzione di ripartizione è costante ed assume il valore ''α'' per più di un valore ''q<sub>α</sub>''; ciononostante per ognuno di questi valori la distribuzione viene correttamente divisa in due parti proporzionali ad ''α'' e ''(1-α)'', in quanto un intervallo a densità nulla non contribuisce al calcolo della probabilità, quindi non fa differenza quale punto dell'intervallo si scelga come q<sub>α</sub>.
Nel caso di una [[densità di probabilità]] la [[funzione di ripartizione]] ''F'' è [[funzione continua|continua]] e il quantile di ordine ''α'' è definito da ''F(q<sub>α</sub>)=α''. Questo quantile può non essere unico se la funzione di densità è nulla in un intervallo, ovvero se la funzione di ripartizione è costante ed assume il valore ''α'' per più di un valore ''q<sub>α</sub>''; ciononostante per ognuno di questi valori la popolazione viene correttamente divisa in due parti proporzionali ad ''α'' e ''(1-α)''.


Nel caso di una [[densità discreta]] il quantile di ordine α è un valore ''q<sub>α</sub>'' nel quale la somma delle probabilità discrete sia maggiore o uguale ad ''α'', ovvero tale che la somma delle probabilità ''fino a'' quel valore incluso sia almeno ''α'' e che la somma delle probabilità discrete da quel valore in poi (incluso) sia maggiore o uguale a ''1-α''. Nel caso discreto, oltre alla non unicità del quantile, si può avere una divisione della distribuzione non proporzionale ad ''α'' e ''1-α'' (del resto una variabile discreta può essere divisa solo in un numero discreto di modi).<br>
Nel caso di una [[densità discreta]] il quantile di ordine α è un valore ''q<sub>α</sub>'' nel quale la [[frequenza cumulata]] relativa raggiunge o supera ''α'', ovvero tale che la somma delle frequenze ''fino a'' quel valore incluso sia almeno ''α'' e che la somma delle frequenze relative al di di quel valore sia al più ''1-α''. In questo caso, oltre alla non unicità del quantile si può avere una divisione non proporzionale ad ''α'' e ''1-α'' (del resto una popolazione finita non può essere divisa che in un numero finito di modi).
Il quantile di ordine α=0,1 (anche detto ''primo decile'') è quel valore della distribuzione per cui la probabilità cumulata fino a qual valore, incluso, sia maggiore o uguale a 0,1, e la probabilità cumulata da quel valore, incluso, in poi sia maggiore o uguale a 0,9.<br>
Il quantile di ordine α=0,5 (la ''mediana'') è quel valore della distribuzione per cui la probabilità cumulata fino a qual valore, incluso, sia maggiore o uguale a 0,5, e la probabilità cumulata da quel valore, incluso, in poi sia maggiore o uguale a 0,5.


== Particolari quantili ==
== Particolari quantili ==
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A causa della scrittura in frazioni, alcuni quantili hanno più di un nome: il secondo quartile è la mediana (''2/4=1/2''), ogni quintile è anche un decile (''m/5=2m/10'') e così via. Per lo stesso motivo il primo ed il terzo quartile sono rispettivamente le mediane della metà inferiore e della metà superiore della popolazione.
A causa della scrittura in frazioni, alcuni quantili hanno più di un nome: il secondo quartile è la mediana (''2/4=1/2''), ogni quintile è anche un decile (''m/5=2m/10'') e così via. Per lo stesso motivo il primo ed il terzo quartile sono rispettivamente le mediane della metà inferiore e della metà superiore della popolazione.


I ventili e i centili esprimono [[intervallo di confidenza|livelli di confidenza]] molto utilizzati: 1%, 5%, 95%, 99%.<br />La media aritmetica dei ventili dal primo al diciannovesimo è detta media ventile ed è uno [[stimatore]] robusto della media<ref>{{Cita web |url=http://www.lettere.uniroma1.it/sites/default/files/1225/Lezioni%20PIKETTY.docx |titolo=Nozioni di statistica descrittiva dalla facoltà di lettere dell'università "La Sapienza" |accesso=4 marzo 2017 |dataarchivio=4 marzo 2017 |urlarchivio=https://web.archive.org/web/20170304193756/http://www.lettere.uniroma1.it/sites/default/files/1225/Lezioni%20PIKETTY.docx |urlmorto=sì }}</ref>. I ventili sono anche utilizzati per definire indici di [[simmetria (statistica)|simmetria]] e [[curtosi]].
I ventili e i centili esprimono [[intervallo di confidenza|livelli di confidenza]] molto utilizzati: 1%, 5%, 95%, 99%.<br />La media aritmetica dei ventili dal primo al diciannovesimo è detta media ventile ed è uno [[stimatore]] robusto della media<ref>[http://www.lettere.uniroma1.it/sites/default/files/1225/Lezioni%20PIKETTY.docx Nozioni di statistica descrittiva dalla facoltà di lettere dell'università "La Sapienza"]</ref>. I ventili sono anche utilizzati per definire indici di [[simmetria (statistica)|simmetria]] e [[curtosi]].


== Note ==
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== Collegamenti esterni ==
== Collegamenti esterni ==
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