군의 표현: 두 판 사이의 차이

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2010년 7월 9일 (금) 22:45 판

군 표현론(group representation theory), 줄여서 표현론은 군을 벡터공간의 선형변환으로 표현해 그 성질을 알아보려 하는 수학의 분야이다. 표현론을 이용하면 군론의 문제를 수학자들이 매우 잘 이해하고 있는 선형대수학의 문제로 환원할 수 있다. 또한 물리학에서도 물리적 계의 대칭군과 그 계를 기술하는 방정식의 해의 관계를 탐구하면서 표현론을 사용한다.

정의

군 G 의 체 K 상의 벡터공간 V 에 대한 표현은 G 에서 일반선형군 GL(V) 로의 군 준동형사상을 말한다. 즉, 표현이란 다음의 사상

D\colon G\to \mathop {GL} (V)\,\!

로서 G 의 임의의 원소 g₁ 와 g₂ 에 대하여 아래의 두 조건을 만족하는 것을 말한다.

$D(e)=1\;$
$D(g_{1}g_{2})=D(g_{1})D(g_{2})\;$

여기서, e 는 G 의 항등원, 1 은 GL(V) 의 항등원이다. 즉, 항등원은 항등원으로 대응되고, 군의 구조가 보존이 되는것을 요구한다.

만약 표현이 일대일함수, 즉, 단사함수라면, 충실한 표현(faithful representation)이라고 한다.

표현으로 얻어지는 연산자들이 작용하는 벡터공간 V 를 표현공간(representation space)이라 하고, V 의 차원을 이 표현의 차원(dimension) 이라고 한다. 언어의 남용으로서, G 에서 GL(V) 로의 사상이 무엇인지가 명확할 때에는 V 를 G 의 표현이라 부르기도 한다.

V 가 유한한 차원 n 일 때에는 n 을 차수(degree)라 부르기도 한다. 이 때에는, V 의 기저를 하나 선택하여 GL(V) 를 K 상의 n×n 가역행렬들의 군 GL(n, K) 와 동일시하는 것이 일반적이다.

G 가 위상군이고 V 가 위상벡터공간일 경우, G 의 V 에 대한 표현 D 가 연속 표현(continuous representation)이라는 것은

{\begin{array}{lll}\Phi :&G\times V&\to V\\&(g,v)&\mapsto D(g)v\end{array}}

로 정의된 함수 Φ 가 연속인 경우를 말한다.

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 여기서, ''e'' 는 ''G'' 의 항등원, 1 은 GL(''V'') 의 항등원이다. 즉, 항등원은 항등원으로 대응되고, 군의 구조가 보존이 되는것을 요구한다.
+만약 표현이 일대일함수, 즉, [[단사함수]]라면, '''충실한 표현'''({{lang|en|faithful representation}})이라고 한다.
-여기서, ''V'' 를 '''표현공간'''({{lang|en|representation space}})이라 하고, ''V'' 의 [[벡터공간의 차원|차원]]을 이 표현의 '''차원'''이라고 한다. [[언어의 남용]]으로서, ''G'' 에서 GL(''V'') 로의 사상이 무엇인지가 명확할 때에는 ''V'' 를 ''G'' 의 표현이라 부르기도 한다.
+표현으로 얻어지는 연산자들이 작용하는 벡터공간 ''V'' 를 '''표현공간'''({{lang|en|representation space}})이라 하고, ''V'' 의 [[벡터공간의 차원|차원]]을 이 표현의 '''차원'''({{lang|en|dimension}}) 이라고 한다. [[언어의 남용]]으로서, ''G'' 에서 GL(''V'') 로의 사상이 무엇인지가 명확할 때에는 ''V'' 를 ''G'' 의 표현이라 부르기도 한다.
-''V'' 가 유한한 차원 ''n'' 일 때에는 ''V'' 의 [[기저 (선형대수학)|기저]]를 하나 선택하여 GL(''V'') 를 ''K'' 상의 ''n''×''n'' [[가역행렬]]들의 군 GL(''n'', ''K'') 와 동일시하는 것이 일반적이다.
+''V'' 가 유한한 차원 ''n'' 일 때에는 ''n'' 을 '''차수'''({{lang|en|degree}})라 부르기도 한다. 이 때에는,  ''V'' 의 [[기저 (선형대수학)|기저]]를 하나 선택하여 GL(''V'') 를 ''K'' 상의 ''n''×''n'' [[가역행렬]]들의 군 GL(''n'', ''K'') 와 동일시하는 것이 일반적이다.
 ''G'' 가 [[위상군]]이고 ''V'' 가 [[위상벡터공간]]일 경우, ''G'' 의 ''V'' 에 대한 표현 ''D'' 가 '''연속 표현'''({{lang|en|continuous representation}})이라는 것은
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 로 정의된 함수 &Phi; 가 [[연속함수 (위상수학)|연속]]인 경우를 말한다.
-''G'' 의 표현 ''D'' 의 [[핵]]은 ''D'' 로 보낸 상이 항등변환이 되는 원소들로 이루어진 ''G'' 의 [[정규부분군]]으로 정의한다:
-:<math>\ker \rho = \left\{g \in G \mid \rho(g) = id\right\} \,\!</math>
 [[분류:가군론]]