리 초대수: 두 판 사이의 차이

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인라인

2010년 7월 13일 (화) 17:39 판

리 초대수(Lie 超代數, 영어: Lie superalgebra)는 리 대수에 Z₂ 차수를 주어 일반화한 수학적 구조다. 초대칭이나 BRST 대칭 따위를 수학적으로 다룰 때 쓰인다. (푸앵카레) 초대칭에서는 짝수 차수가 보존을, 홀수 차수가 페르미온을 나타낸다. (그러나 BRST에서는 그 반대다.)

정의

리 초대수는 다음 두 공리를 만족하는, 가환환(대개 ℝ나 ℂ)에 대한 Z₂차수 붙은 대수다. (이는 일반적인 리 대수의 공리를 차수를 고려하여 일반화한 것이다.)

$[x,y]+(-1)^{|x||y|}[y,x]=0\;$ (반(skew)대칭)
$(-1)^{|z||x|}[x,[y,z]]+(-1)^{|x||y|}[y,[z,x]]+(-1)^{|y||z|}[z,[x,y]]=0\;$ (야코비 항등식)

여기서 x, y, z는 순수하게 차수를 지니는 대수의 원소다. |x|는 차수를 뜻한다. 리 괄호의 차수는 다음과 같다.

|[x,y]|=|x|+|y|{\text{ mod }}2\;

같이 보기

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 ==정의==
 리 초대수는 다음 두 공리를 만족하는, [[가환환]](대개 [[실수|ℝ]]나 [[복소수|ℂ]])에 대한 Z₂[[차수 붙은 대수]]다. (이는 일반적인 [[리 대수]]의 공리를 차수를 고려하여 일반화한 것이다.)
-*<math>[x,y]+(-1)^{|x||y|}[y,x]=0</math> (반(skew)대칭)
+*<math>[x,y]+(-1)^{|x||y|}[y,x]=0 \;</math> (반(skew)대칭)
-*<math>(-1)^{|z| |x|}[x,[y,z]]+(-1)^{|x| |y|}[y,[z,x]]+(-1)^{|y| |z|}[z,[x,y]]=0</math> ([[야코비 항등식]])
+*<math>(-1)^{|z| |x|}[x,[y,z]]+(-1)^{|x| |y|}[y,[z,x]]+(-1)^{|y| |z|}[z,[x,y]]=0 \;</math> ([[야코비 항등식]])
 여기서 ''x'', ''y'', ''z''는 순수하게 차수를 지니는 대수의 원소다. |''x''|는 차수를 뜻한다. 리 괄호의 차수는 다음과 같다.
-:<math>|[x,y]|=|x|+|y|\text{ mod }2</math>
+:<math>|[x,y]|=|x|+|y|\text{ mod }2 \;</math>
 == 같이 보기 ==