브라-켓 표기법: 두 판 사이의 차이

브라-켓 표기법(bra-ket -)은 양자 역학의 상태를 기술하는 수학적 표기법이다. 이 표기법은 폴 디랙이 처음 고안하여 디랙 표기법이라고도 한다. 이 표기법에서 ⟨ϕ| 를 브라(bra), |ψ⟩ 을 켓(ket)이라 부른다. 이 이름은 두 상태벡터 간의 내적 ⟨ϕ|ψ⟩ 을 꺾쇠괄호(bracket)를 이용하여 나타내는 데서 유래하였다.

브라와 켓

계의 상태는 복소 힐베르트 공간 H의 벡터로 나타낸다. 이를 켓벡터(ket vector)라고 하고, |ψ⟩ 로 쓴다. 여기서 H 를 켓공간(ket space)이라 하기도 한다.

켓공간 H 의 쌍대공간 H^* 의 원소는 브라벡터(bra vector)라고 하고, ⟨ϕ| 라 쓴다. 브라벡터는 쌍대공간의 원소이므로 켓공간에서 복소수로의 선형연속함수 ⟨ϕ| : H → C 이다. 켓공간과 마찬가지로 H^* 를 브라공간(bra space)이라 하기도 한다.

모든 켓 |ψ⟩ 에는 대응되는 쌍대 브라(dual bra) ⟨ψ| 가 있으며, 아래와 같이 정의한다.

임의의 켓 |ρ⟩ 에 대하여 ⟨ψ|ρ⟩ = ⟨ψ, ρ⟩

위 정의에서 우변의 ⟨·, ·⟩ 는 힐베르트 공간의 내적을 나타낸다.

쌍대공간의 각 브라 벡터에는 꼭 한 개의 켓벡터가 대응된다는 리스 표현 정리에 의해 ⟨ψ| 는 다음과 같이 켓벡터 |ψ⟩ 와 대응되며 잘 정의되어 있다.

$|\psi \rangle \quad {\overset {\mathrm {DC} }{\leftrightarrow }}\quad \langle \psi |$

브라-켓의 성질

• 임의의 브라 ⟨ϕ|, 켓 |ψ₁⟩, |ψ₂⟩, 그리고 복소수 c₁, c₂에 대해, 브라는 선형 범함수이기 때문에, 다음이 성립한다.

$\langle \phi |(c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle )=c_{1}\langle \phi |\psi _{1}\rangle +c_{2}\langle \phi |\psi _{2}\rangle$.

• 임의의 브라 ⟨ϕ₁|, ⟨ϕ₂|, 켓 |ψ⟩, 그리고 복소수 c₁, c₂에 대해, 다음이 성립한다.

$(c_{1}\langle \phi _{1}|+c_{2}\langle \phi _{2}|)|\psi \rangle =c_{1}\langle \phi _{1}|\psi \rangle +c_{2}\langle \phi _{2}|\psi \rangle$.

• 임의의 켓 |ψ₁⟩, |ψ₂⟩, 복소수 c₁, c₂ 에 대해, 내적의 성질에 의해 다음이 성립한다. (*는 켤레복소수를 뜻한다.)

$c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle \quad {\overset {\mathrm {DC} }{\leftrightarrow }}\quad c_{1}^{*}\langle \psi _{1}|+c_{2}^{*}\langle \psi _{2}|$

• 임의의 브라 ⟨ϕ| 와 켓 |ψ⟩ 에 대해, 다음이 성립한다.

$\langle \phi |\psi \rangle =\langle \psi |\phi \rangle ^{*}$.

선형연산자와 브라-켓

A : H→H 가 선형연산자일 때, A를 켓 $|\psi \rangle$에 작용하여 다른 켓 $(A|\psi \rangle )$을 얻는다. 연산자는 브라에 작용할 수도있다. A를 브라 $\langle \phi |$에 작용하면, 브라 $(\langle \phi |A)$를 얻으며, 다음이 성립한다.

$(\langle \phi |A)\;|\psi \rangle =\langle \phi |\;(A|\psi \rangle )$.

따라서 다음과 같이 간단히 쓸 수 있다.

$\langle \phi |A|\psi \rangle$.

H 위에서 선형연산자를 정의하는 편한 방법은 외적을 이용하는 것이다. 만약 브라 $\langle \phi |$와 켓 $|\psi \rangle$에 대하여, 외적 $|\phi \rangle \langle \psi |$는, 켓 $|\rho \rangle$을 켓 $|\phi \rangle \langle \psi |\rho \rangle$으로 보낸다. (즉 켓 $|\phi \rangle$에 스칼라 $\langle \psi |\rho \rangle$를 곱한 것이다.)

외적을 사용하여 정사영 연산자를 만들 수 있다. 노름이 1인 켓 $|\psi \rangle$으로 생성되는 부분공간으로 정사영하는 연산자는

$|\psi \rangle \langle \psi |$

로 정의된다.