클라인-고든 방정식: 두 판 사이의 차이

클라인 고든 방정식(Klein-Gordon 方程式), 혹은 클라인 고든 폭 방정식 (Klein-Gordon-Fock 方程式)은 슈뢰딩거 방정식의 상대론적 변형으로 스칼라장 또는 유사스칼라장의 고전적인 운동방정식이다.

클라인 고든 방정식의 마당은 슈뢰딩거 방정식처럼 단입자의 확률진폭으로 해석할 수 없는데, 이는 이 방정식이 시간에 대하여 2차 편미분 방정식이어서 음의 에너지가 존재하고, 또 확률흐름을 보존하지 않기 때문이다. (다만, 파인먼 스튀켈베르크 해석을 사용하여, 시간에 대해 앞뒤로 전파하는 입자에 대한 기술이라고 해석할 수 있다.) 아직까지 자연계에서 스칼라 기본입자는 발견되지 않았으나, 스칼라 입자로 예상되는 가상의 입자(힉스 보존 따위)나 스핀 0의 복합 입자 (composite particle) (스칼라 중간자 따위)를 다룰 때 유용하다.

클라인 고든 방정식은 특수상대론의 에너지-질량 등가성을 양자론적으로 쓴 것이기 때문에, 다른 모든 상대론적 파동방정식의 기본을 이룬다. 예를 들어, 스핀 1/2의 디랙 방정식이나 스핀 1의 프로카 방정식은 클라인 고든 방정식의 특수한 경우다. 즉, 모든 디랙 방정식의 해와 프로카 방정식의 해는 클라인 고든 방정식을 만족한다. (그러나 그 역은 성립하지 않는다.)

실수 (전하를 가지지 않는) 스칼라 마당의 클라인 고든 방정식은 (자연 단위계를 쓰면) 다음과 같다.

$-\partial _{t}^{2}\psi +\nabla ^{2}\psi =m^{2}\psi$

여기서 $m$은 마당의 양자의 질량이다.

이 꼴은 다음 방정식

$\psi =e^{-i\omega t+ik\cdot x}=e^{ik_{\mu }x^{\mu }}$

의 평면파 해가 특수상대론의 에너지-운동량 관계, 즉

$-p_{\mu }p^{\mu }=E^{2}-P^{2}=\omega ^{2}-k^{2}=-k_{\mu }k^{\mu }=m^{2}$

을 만족시키게 하면 얻어진다.

슈뢰딩거 방정식과는 달리, 어떤 주어진 $k$에 대해 가능한 $\omega$값이 양과 음 두가지다.

역사

이 방정식은 오스카 클라인(Oscar Klein)과 월터 고든(Walter Gordon)의 이름을 땄다. 이들은 1927년에 상대론적 전자를 기술하기 위해 이 방정식을 제시하였다. 실제로 전자는 스핀을 가지기 때문에 디랙 방정식을 따르지만, 클라인 고든 방정식은 스핀이 없는 입자, 예를 들어 파이온이나 힉스 보존 등을 기술한다.

클라인과 고든 이전에도, 이 방정식은 여러 차례 독립적으로 발견되었다. 에르빈 슈뢰딩거는 원래 전자의 물질파를 기술하는 방정식을 찾다가 1925년 경에 클라인 고든 방정식을 생각해 내었다. 그러나 이 방정식은 전자의 스핀을 무시하기 때문에, 수소 원자의 전자 구조를 올바르게 예측하지 못한다. 그러나 그는 이 방정식의 비상대적 극한이 유용하다는 것을 깨닫고, 이를 1926년 1월에 출판한다. 이 방정식은 이후 '슈뢰딩거 방정식'이라고 알려진다. (슈뢰딩거 방정식을 쓰면, 수소 원자 및 수소형(hydrogenlike)의 원자(He⁺ 따위)의 올바른 전자 구조를 유도할 수 있다.) 슈뢰딩거가 출판한 지 1년도 채 넘지 않아, 같은 해에 블라디미르 알렉산드로비치 폭(Владимир Александрович Фoк)은 이 방정식을 자기장이 있을 경우로 일반화하여, 클라인 고든 방정식을 유도하였다.

유도

자유 입자의 비상대론적 에너지는 다음과 같다.

${\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}=E.$

이를 양자화하면, 자유 입자의 슈뢰딩거 방정식이 된다.

${\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}\psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi$

여기서 $\mathbf {p}$는 운동량 연산자이다.

이를 상대화하기 위하여, 특수 상대론의 에너지 공식을 사용하자.

${\sqrt {\mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}=E.$

마찬가지로 양자화하면 다음과 같다.

${\sqrt {(-i\hbar \mathbf {\nabla } )^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}\psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi .$

그러나 이 공식은 제곱근이 들어가 있기 때문에 다루기 힘들며, 또 비국소적이다. 대신, 에너지 공식의 양변을 제곱하자.

$\mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}=E^{2}$

이를 양자화하면 다음과 같다.

$((-i\hbar \mathbf {\nabla } )^{2}c^{2}+m^{2}c^{4})\psi =(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}})^{2}\psi$

고쳐 쓰면,

$-\hbar ^{2}c^{2}\mathbf {\nabla } ^{2}\psi +m^{2}c^{4}\psi =-\hbar ^{2}{\frac {\partial ^{2}}{(\partial t)^{2}}}\psi .$

항을 옮기면 다음을 얻는다.

${\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{(\partial t)^{2}}}\psi -\mathbf {\nabla } ^{2}\psi +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0.$

모든 복소수 $i$가 사라졌으므로, 이 방정식은 복소 마당 뿐만 아니라 실수값을 가지는 마당에도 적용할 수 있다.

상대론적 표기법으로 쓰면, 다음과 같이 된다.

$(\Box +\mu ^{2})\psi =0$

여기서 $\Box$는 달랑베르 연산자이다.

라그랑지안

클라인 고든 방정식은 다음 라그랑지안의 오일러-라그랑주 방정식이다.

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial \psi )^{2}-{\frac {1}{2}}m^{2}\psi$

참고

• 디랙 방정식 -- 스핀 ½ 입자를 나타냄
• 맥스웰 방정식 -- 스핀 1 게이지 입자
• 프로카 방정식 (Proca) -- 스핀 1이고 질량을 가진 입자
• 라리타-슈윙거 방정식 (Rarita-Schwinger) -- 스핀 1½ 입자
• 아인슈타인 방정식 -- 스핀 2인 입자 (중력자)