Logische conjunctie: verschil tussen versies

Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud

In de regel

Versie van 17 nov 2010 22:52

Venn-diagram van de conjuctie - rood is waar

In de wiskunde en de logica is logische conjunctie (symbool: $\land$ , &, &&, EN of AND) een logische operator die twee proposities met elkaar verbindt, zodanig dat de conjunctie van beide waar is als beide operanden waar zijn.

Definitie

De conjunctie vormt een samengestelde propositie A $\land$ B uit twee proposities A, B. De twee samenstellende proposities worden conjuncten genoemd. Het geheel is waar dan en slechts dan als de beide samenstellende delen waar zijn, wat in de volgende waarheidstabel wordt aangegeven:

A	B	A $\land$ B
F	F	F
F	T	F
T	F	F
T	T	T

Intuïtief gezien werkt de logische operator op dezelfde manier als het gewone Nederlandse voegwoord "en". De zin "Het regent en ik ben binnen" verzekert je dat de beide delen tegelijkertijd waar zijn: zowel dat het regent, als dat ik binnen ben. Logisch gezien zou men dit voorstellen door de bewering A te gebruiken voor "Het regent", B voor "Ik ben binnen", samen dus A EN 'B.

Bijvoorbeeld, beschouw:

x > 13

\land

x < 27.

Als x gelijk is aan 36, dan is x > 13 waar, maar x < 27 is onwaar, de bewering is dus onwaar. Maar als x nu 20 is, dan zijn beide delen van de bewering waar, en dus is heel de conjunctie waar.

De uitbreiding van de conjunctie voor een (eventueel oneindige) verzameling van beweringen is de universele kwantificatie uit de predicatenlogica.

Als deductieregel is conjunctie een geldige, eenvoudige bewijsvorm:

A

B

\vdash A\land B

Het bewijs heeft twee premisses. De eerste is het linkerlid, het tweede het rechterlid. Uit deze twee premisses kan logisch besloten worden dat A $\land$ B eveneens waar moet zijn.

Dit is een voorbeeld van een bewering die de vorm van een conjunctie heeft:

Iedereen zou moeten stemmen.

Democratie is de beste regeringsvorm.

Dus, iedereen zou moeten stemmen en democratie is de beste regeringsvorm.

Associativiteit en commutativiteit

Logische conjunctie is associatief en commutatief. Dat wil zeggen dat (A $\land$ B) $\land$ C logisch equivalent is aan A $\land$ (B $\land$ C) (associatief) — met als gevolg dat de haakjes vaak weggelaten worden — en dat A $\land$ B logisch equivalent is aan B $\land$ A (commutatief).

Bitsgewijze bewerking

Logische conjunctie wordt vaak gebruikt in bitsgewijze bewerkingen. Voorbeelden:

0 en 0 = 0
0 en 1 = 0
1 en 0 = 0
1 en 1 = 1

1100 en 1010 = 1000

Merk op dat in computerwetenschappen de operator EN gebruikt kan worden om een bit op 0 te zetten door een EN-bewerking van die bit met 0.

Zie ook

Externe links

Wolfram Mathematics Conjunction

@@ Regel 1: / Regel 1: @@
 [[Bestand:Venn0001.svg|thumb|right|Venn-diagram van de conjuctie - rood is waar]]
-In de [[wiskunde]] en de [[logica]] is '''logische conjunctie''' (symbool: {{Unicode|∧}}, &, &&, <small>EN</small> of <small>AND</small>) een [[logische operator]] die twee proposities met elkaar verbindt, zodanig dat de conjunctie van beide waar is als beide operanden waar zijn.
+In de [[wiskunde]] en de [[logica]] is '''logische conjunctie''' (symbool: <math>\land</math>, &, &&, <small>EN</small> of <small>AND</small>) een [[logische operator]] die twee proposities met elkaar verbindt, zodanig dat de conjunctie van beide waar is als beide operanden waar zijn.
 == Definitie ==
-De conjunctie vormt een samengestelde propositie ''A'' {{Unicode|∧}} ''B'' uit twee proposities ''A'', ''B''. De twee samenstellende proposities worden ''conjuncten'' genoemd. Het geheel is waar [[dan en slechts dan als]] de beide samenstellende delen waar zijn, wat in de volgende [[waarheidstabel]] wordt aangegeven:
+De conjunctie vormt een samengestelde propositie ''A'' <math>\land</math> ''B'' uit twee proposities ''A'', ''B''. De twee samenstellende proposities worden ''conjuncten'' genoemd. Het geheel is waar [[dan en slechts dan als]] de beide samenstellende delen waar zijn, wat in de volgende [[waarheidstabel]] wordt aangegeven:
 {| {{prettytable}}
-! ''A'' !! ''B'' !! ''A'' {{Unicode|∧}} ''B''
+! ''A'' !! ''B'' !! ''A'' <math>\land</math> ''B''
 |- align=center
 | F || F || F
@@ Regel 20: / Regel 20: @@
 Bijvoorbeeld, beschouw:
-: ''x'' > 13 {{Unicode|∧}} ''x'' < 27.
+: ''x'' > 13 <math>\land</math> ''x'' < 27.
 Als ''x'' gelijk is aan 36, dan is ''x'' > 13 waar, maar ''x'' < 27 is onwaar, de bewering is dus onwaar. Maar als ''x'' nu 20 is, dan zijn beide delen van de bewering waar, en dus is heel de conjunctie waar.
@@ Regel 30: / Regel 30: @@
 :<math>\vdash A \land B </math>
-Het bewijs heeft twee premisses. De eerste is het linkerlid, het tweede het rechterlid. Uit deze twee premisses kan logisch besloten worden dat ''A'' {{Unicode|∧}} ''B'' eveneens waar moet zijn.
+Het bewijs heeft twee premisses. De eerste is het linkerlid, het tweede het rechterlid. Uit deze twee premisses kan logisch besloten worden dat ''A'' <math>\land</math> ''B'' eveneens waar moet zijn.
 Dit is een voorbeeld van een bewering die de vorm van een ''conjunctie'' heeft:
@@ Regel 39: / Regel 39: @@
 == Associativiteit en commutativiteit ==
-Logische conjunctie is [[Associativiteit|associatief]] en [[Commutativiteit|commutatief]]. Dat wil zeggen dat (''A'' {{Unicode|∧}} ''B'') {{Unicode|∧}} ''C'' [[Logische equivalentie|logisch equivalent]] is aan  ''A'' {{Unicode|∧}} (''B'' {{Unicode|∧}} ''C'') (associatief) — met als gevolg dat de haakjes vaak weggelaten worden — en dat ''A'' {{Unicode|∧}} ''B'' logisch equivalent is aan ''B'' {{Unicode|∧}} ''A'' (commutatief).
+Logische conjunctie is [[Associativiteit|associatief]] en [[Commutativiteit|commutatief]]. Dat wil zeggen dat (''A'' <math>\land</math> ''B'') <math>\land</math> ''C'' [[Logische equivalentie|logisch equivalent]] is aan  ''A'' <math>\land</math> (''B'' <math>\land</math> ''C'') (associatief) — met als gevolg dat de haakjes vaak weggelaten worden — en dat ''A'' <math>\land</math> ''B'' logisch equivalent is aan ''B'' <math>\land</math> ''A'' (commutatief).
 == Bitsgewijze bewerking ==