Multivariate normale verdeling
In de kansrekening en de statistiek is de multivariate normale verdeling een speciale kansverdeling: het is het analogon van de normale verdeling in meer dimensies. De verdeling wordt ook wel met multidimensionale normale verdeling en multivariate Gaussische verdeling aangeduid.
Multivariate normaal | ||||
---|---|---|---|---|
Kansdichtheid | ||||
Verdelingsfunctie | ||||
Parameters | reële vector) positief definiete reële n×n-matrix | |||
Drager | ||||
Kansdichtheid | ||||
Verwachtingswaarde | ||||
Mediaan | ||||
Modus | ||||
Variantie | ||||
Scheefheid | 0 | |||
Kurtosis | 0 | |||
Moment- genererende functie |
||||
Karakteristieke functie | ||||
|
Definitie
bewerkenDe stochastische vector heeft een multivariate normale verdeling met verwachting en covariantiematrix de positief definiete n×n-matrix , als de kansdichtheid gegeven is door:
Daarin is de determinant van .
Notatie
bewerkenMen noteert kort: .
Net als bij de univariate normale verdeling, is de verdelingsfunctie niet expliciet in gesloten vorm te schrijven.
Speciaal geval: univariate normale verdeling
bewerkenIn het geval is de verdeling niet meerdimensionaal, maar de gewone normale verdeling.
Speciaal geval: bivariate normale verdeling
bewerkenAls heet de verdeling ook bivariate normale verdeling. De covariantiematrix wordt vaak geschreven als
- ,
waarin de correlatiecoëfficiënt tussen en is.
Eigenschappen
bewerkenAls , geldt:
- Elke willekeurige lineaire combinatie heeft een (univariate) normale verdeling, met verwachting en variantie .
- De karakteristieke functie en momentgenererende functie zijn gegeven zoals vermeld in het overzicht rechtsboven.
Gaussproces
bewerkenEen Gaussproces is een stochastisch proces waarvan de eindigdimensionale verdelingen (de verdeling van de waardenvector van het proces op een eindige verzameling tijdstippen) normaal zijn. Klassieke voorbeelden van Gaussprocessen zijn: de brownse beweging en het Ornstein-Uhlenbeckproces.