Teoria de Broglie’a-Bohma: Różnice pomiędzy wersjami

Teoria de Broglie-Bohma (teoria fali pilotującej, mechanika Bohma, interpretacja Bohma lub interpretacja przyczynowa) – interpretacja mechaniki kwantowej zakładająca, że:

1. stan układu fizycznego zależy od funkcji falowej określonej w przestrzeni konfiguracyjnej z rozwiązania równania Schrödingera,
2. układ znajduje się w każdej chwili w jednej z możliwych konfiguracji (którą stanowią pozycje wszystkich cząstek układu lub stany wszystkich pól fizycznych)
3. dynamikę układu zadaje tzw. równanie fali pilotujące, które określa wektor prędkość układu w danej chwili, dla zadanej konfiguracji; wektor prędkości zależy od funkcji falowej, dlatego dynamika układu odtwarza efekty kwantowe.

Teoria ta została opracowana przez Louisa de Broglie (1892–1987), a później ponownie odkryta i dopracowana przez Davida Bohma (1917–1992).

Drugie z założeń teorii de Broglie-Bohma nie występuje w kopenhaskiej interpretacji mechaniki kwantowej. Zakłada ona, że do momentu pomiaru istnieje tylko funkcja falowa, zaś układ fizyczny nie ma żadnego określonego stanu; dopiero w momencie wykonania pomiaru przez fizyka następuje „zaistnienie” układu w konkretnym stanie, odpowiadającym uzyskanemu wynikowi pomiaru. Takie założenie prowadzi jednak do logicznej sprzeczności, m.in. z powodu przypisania pomiarowi szczególnej roli wśród wszystkich procesów, jakie zachodzą w przyrodzie. Sprzeczność ta została dobitnie wyrażona przez samego Schrödingera w tzw. paradoksie kota Schrödingera.

Teoria de Broglie-Bohma jest:

• teorią nielokalną: z równania fali pilotującej wynika, że prędkość każdej cząstki zależy od położeń wszystkich innych cząstek Wszechświata. Rozważania na temat nielokalności teorii de Broglie-Bohma doprowadziły Bella do odkrycia słynnego twierdzenia Bella,
• teorią deterministyczną, tzn. trajektorie cząstek są ściśle wyznaczone przez stan układu w chwili początkowej.

Teoria de Broglie-Bohma wprowadza także formalny opis pomiaru. Problem pomiaru nie rozwiązany w ramach interpretacji standardowej mechaniki kwantowej nie pojawia się tu, gdyż w teorii de Broglie-Bohma eksperyment nie powoduje zaistnienia układu w jakimś stanie, a jedynie rejestruje istniejący już przed pomiarem stan układu – aparatura pomiarowa w wyniku oddziaływania z układem mierzonym przyjmuje stan, odpowiadający mierzonemu stanowi układu.

Znany ze standardowej interpretacji kolaps funkcji falowej pojawia się tu także, ale jeżeli dokona się zawężonej analizy procesu pomiaru, tj. z punktu widzenia układu mierzącego; de facto jednak kolaps nie zachodzi.

Opracowano warianty teorii fali pilotującej uwzględniające np. spin cząstek czy zakrzywienie przestrzeni. Opracowano także wersje fali pilotującej odnoszące się do kwantowej teorii pola.

Fala de Broglie jest mikroskopowym odpowiednikiem fali Faradaya.

Szczegółowe założenia teorii

Teoria de Broglie-Bohma dotyczy ustalonego układu cząstek (a więc nie mogą anihilować ani być kreowane), które ponadto nie posiadają spinu, i oparta jest na następujących postulatach:

1. Układ, który można uznać za odizolowany (np. cały Wszechświat), zawiera stałą liczbę $N$ cząstek materii.
2. W chwili $t$ układ istnieje w pewnej konfiguracji $Q(t)=({\mathbf {Q} }_{1}(t),\ldots ,{\mathbf {Q} }_{k}(t),\ldots ,{\mathbf {Q} }_{N}(t))$, gdzie ${\mathbf {Q} }_{k}(t)=(x_{k}(t),y_{k}(t),z_{k}(t))\in \mathbb {R} ^{3}$- wektor położenia k-tej cząstki w przestrzeni euklidesowej.
3. Wszystkie możliwe konfiguracje $q=({\mathbf {q} }_{1},\ldots ,{\mathbf {q} }_{k},\ldots ,{\mathbf {q} }_{N})$ układu $N$ cząstek tworzą przestrzeń konfiguracyjną złożoną z $n$-elementowych podzbiorów zbioru $\mathbb {R} ^{3N}$.
4. Cząstki bezmasowe (fotony) w ujęciu Bohma nie są traktowane jako zlokalizowane obiekty punktowe, ale jako stany pola elektromagnetycznego, określone w całej przestrzeni fizycznej $\mathbb {R} ^{3}$, tj. $Q_{k}=\phi _{k},$ gdzie $\phi _{k}:\mathbb {R} ^{3}\ni (x,y,x)\to \phi _{k}(x,y,x)$ przedstawia jeden z możliwych stanów pola
5. Wektor prędkości k-tej cząstki w położeniu ${\mathbf {Q} }_{k}$ w chwili $t$ określa wzór

${\frac {d{\mathbf {Q} }_{k}(t)}{dt}}={\frac {{\mathbf {j} }_{k}(q,t)}{|\psi (q,t)|^{2}}}{\Biggl |}_{q=Q(t)},$

gdzie:

$\mathbf {j} _{k}(q,t)={\hbar \over m_{k}}{\text{Im}}\left(\psi (q,t)^{*}\nabla _{k}\psi (q,t)\right)$- wektor gęstości prądu prawdopodobieństwa, przy czym $\nabla _{k}=\left({\partial \over \partial x_{k}},{\partial \over \partial y_{k}},{\partial \over \partial z_{k}}\right)$ – operator Nabla działający na k-tą cząstkę, $m_{k}$ – masa k-tej cząstki,

$\psi (q,t)$ – funkcja falowa, będąca związaniem równania równania Schrödingera w przestrzeni konfiguracyjnej $\mathbb {R} ^{3N}$

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (q,t)={\hat {H}}\psi (q,t)$,

gdzie operator Hamiltona ma postać

${\hat {H}}(q,t)=-\sum _{k=1}^{N}{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{k}}}\nabla _{k}^{2}(q,t)+V(q)$.

Pokazuje się, że jeżeli zespół statystyczny identycznych układów w chwili początkowej $t_{0}$ zajmuje stany $q$ w przestrzeni konfiguracyjnej z rozkładem prawdopodobieństwa $\rho (q,t_{0})=|\psi (q,t_{0})|^{2}$, to we wszystkich chwilach późniejszych $t>t_{0}$ zespół tych układów będzie zajmował stany w przestrzeni konfiguracyjnej z rozkładem$\rho (q,t)=|\psi (q,t)|^{2}$. Stany o takich rozkładach nazywamy stanami równowagi kwantowej. W takim przypadku przewidywania teorii de Broglie-Bohma zgadzają się całkowicie z przewidywaniami standardowej mechaniki kwantowej.

Bohm w pracy z 1952 podał przypuszczenie, że ostatni z powyższych postulatów powinno się dać wyprowadzić z praw statystyki i mechaniki. Argument ten był później wsparty przez pracę Bohma z 1953 i uzasadniony w publikacji Vigera i Bohma z 1954, w której wprowadzili stochastyczne fluktuacje płynu kierujące procesem asymptotycznej relaksacji ze stanu kwantowej nierównowagi (tj. stanu, w którym $\rho (Q,t_{0})\neq |\psi (Q,t_{0})|^{2}$) do stanu równowagi.

Eksperyment z podwójną szczeliną

Możliwe trajektorie Bohma dla elektronu w eksperymencie z dwiema szczelinami. Podobny wzór był ekstrapolowany w eksperymencie słabych pomiarów z pojedynczymi fotonami

Eksperyment z podwójną szczeliną jest ilustracją dualizmu korpuskularno-falowego cząstek materii i światła. Eksperyment polega na przepuszczeniu jedna po drugiej pojedynczych cząstek (np. elektronów) przez przesłonę z dwiema szczelinami. Umieszczony w pewnej odległości od przesłony detektor mierzy rozkład przestrzenny cząstek. W wyniku uzyskuje się układ jasnych i ciemnych prążków, czyli obraz interferencyjny. Efekt ten jest typowy dla fal, ale tu detektor wykrywa cząstki (korpuskuły), przy czym obraz ten uzyskuje się nawet wtedy, gdy przez układ eksperymentalny przepuszcza się cząstki tak, że w danej chwili w układzie jest tylko jedna cząstka pojedyncze (w ten sposób eliminuje się ewentualne oddziaływanie cząstek ze sobą).

Cząstki wykazują więc w tym eksperymencie własności korpuskularno-falowe (wzór interferencyjny tworzony jest przez gromadzenie się wielu pojedynczych, punktowych uderzeń cząstek w ekran).

Jeśli zmienimy eksperyment, zamykając jedną ze szczelin, wzoru interferencyjnego nie będzie. Dowodzi to, że do uzyskania interferencji potrzebna jest obecność dwóch szczelin.

Możemy również użyć minimalnie inwazyjny detektor przy jednej ze szczelin, żeby zmierzyć, którą szczeliną przechodzą poszczególne cząstki. Jednak wzór interferencyjny zniknie. Oznacza to, że aby uzyskać interferencję nie można mierzyć, jaką drogą poruszała się cząstka przez przesłonę ze szczelinami.

Według interpretacji kopenhaskiej eksperyment powyżej opisany rozumie się następująco: cząstka od chwili wyemitowania jej do chwili pomiaru nie jest obiektem punktowym, ale jest falą. A zatem, jeżeli nie umieścimy przy szczelinie detektora, cząstka w postaci fali przejdzie przez obie szczeliny – i dlatego będzie interferować z samą sobą; w momencie pomiaru cząstka w sposób losowy lokalizuje się w pewnym punkcie detektora. Interferencja zniknie, jeżeli detektor umieścimy przy jednej ze szczelin, gdyż funkcja falowa ulega kolapsowi z powodu aktu obserwacji.

Według teorii de Broglie-Bohma to fala pilotująca cząstki przechodzi przez obie szczeliny; mimo to każda cząstka posiada dobrze zdefiniowaną trajektorię, przechodzącą tylko przez jedną szczelinę. Końcowe położenie cząstki na ekranie oraz szczelina, przez którą cząstka przechodzi, są zdeterminowane przez położenie cząstki w źródle cząstek. Początkowe położenie jest nieznane dla eksperymentatora, zatem pojawienie się cząstki na ekranie detektora jest losowe. Fala pilotująca interferuje sama ze sobą i prowadzi cząstkę w taki sposób, że omija ona rejony destruktywnej interferencji, a przyciąga ją w rejony o konstruktywnej interferencji, co daje obraz interferencyjny na ekranie detektora.

Aby wyjaśnić eksperyment, w którym mierzy się, przez którą szczelinę przechodzi cząstka, należy wprowadzić pojęcie warunkowej funkcji falowej. Podstawowa idea jest taka, że detektor rejestruje cząstkę tylko przy jednej szczelinie; w wyniku tego powstają dwa pakiety falowe w przestrzeni konfiguracji – jeden z cząstką wykrytą przy danej szczelinie, a drugi pozbawiony cząstki. Pakiety te nie zajmują tego samego obszaru przestrzeni konfiguracyjnej, dlatego nie mogą interferować ze sobą – dlatego interferencji nie obserwuje się.

Rozszerzenia

Teoria względności

Problem foliacji (podziału) czasoprzestrzeni

Teoria fali pilotującej jest jawnie nielokalna, co jest w pozornym konflikcie ze szczególną teorią względności. Istnieją różne rozszerzenia mechaniki „bohmo-podobnej”, które próbują rozwiązać ten problem. Sam Bohm zaprezentował w 1953 rozszerzenie teorii, spełniające równanie Diraca dla pojedynczej cząstki. Jednak nie było ono rozszerzalne na wiele cząstek, ze względu na użycie czasu absolutnego. Ponowne zainteresowanie skonstruowaniem teorii Bohma spełniającej niezmiennik Lorentza pojawiło się w latach 90. XX w. Kolejną próbę przedstawiono w pracy Dürra et al., w których użyto modeli Bohma-Diraca oraz foliacji Lorentza w stosunku do czasoprzestrzeni.

Dürr et al. (1999) pokazali, że możliwe jest formalne przywrócenie niezmiennika Lorentza dla teorii Bohma-Diraca, wprowadzając dodatkową strukturę. Podejście to wciąż wymaga foliacji czasoprzestrzeni. Choć jest to w sprzeczności ze standardową interpretacją teorii względności, to preferowana foliacja, jeżeli jest nieobserwowalna, nie prowadzi do empirycznego konfliktu z teorią względności.

Powiązanie między nielokalnością a preferowaną foliacją można lepiej zrozumieć następująco:

– w teorii de Broglie-Bohma, nielokalność objawia się poprzez fakt, że prędkość i przyspieszenie jednej cząstki zależy od aktualnego położenia wszystkich innych cząstek jednocześnie, tj. w tej samej chwili czasu,

– jednak w teorii względności jednoczesność nie absolutną wielkością, ale zależy od układu, w którym określamy czas.

Zatem aby zdefiniować trajektorie cząstek, potrzebna jest dodatkowa zasada, określająca, które punkty czasoprzestrzeni powinny być traktowane jako jednoczesne. Najprostszy sposób, aby to osiągnąć, polega na wprowadzeniu preferowanej foliacji (podziału) czasoprzestrzeni przez ustalenie preferowanego układu, w którym określany jest czas (wtedy każda hiperpowierzchnia czasoprzestrzeni powstała w tym podziale jest hiperpowierzchnią równego czasu a różnych współrzędnych przestrzennych).

Problem z opisem trajektorii fotonu

Początkowo uważano za niemożliwe opisanie trajektorii fotonu w teorii de Broglie-Bohma ze względu na problem relatywistycznego opisu bozonów. W 1996, Partha Ghose zaprezentował relatywistyczny opis bozonów o spinie 0 i 1 w mechanice kwantowej, wychodząc od równań Duffina-Kemmera-Petiau, określając trajektorie dla bozonów zarówno masowych, jak i bezmasowych (fotonów). W 2001 Jean-Pierre Vigier podkreślił potrzebę otrzymania dobrze zdefiniowanego opisu światła w postaci trajektorii cząstek, w ramach teorii de Broglie-Bohma lub stochastycznej mechaniki Nelsona. W tym samym roku Ghose opracował model przypisujący trajektorie fotonom dla szczególnych przypadków. Eksperymenty z wykorzystaniem tzw. pomiarów słabych doprowadziły do otrzymania trajektorii zgodnych z przewidywanymi.

Kwantowa teoria pola

Chris Dewdney i G. Horton zaproponowali relatywistycznie niezmiennicze, falowo-funkcjonalne sformułowanie kwantowej teorii pola Bohma. oraz rozszerzył je do postaci, która umożliwia włączenie grawitacji.

Lorentzowsko-kowariantna teoria wielu cząstek

Nikolić zaproponował lorentzowsko-kowariantne sformułowanie interpretacji Bohma funkcji falowej dla wielu cząstek. Rozwinął on uogólnioną, relatywistycznie niezmienniczą, probabilistyczną interpretację teorii kwantowej, w której $|\psi |^{2}$ nie jest gęstością prawdopodobieństwa w przestrzeni, lecz gęstością prawdopodobieństwa w czasoprzestrzeni. Użył uogólnionej interpretacji probabilistycznej do sformułowania kowariantnej relatywistycznie wersji teorii de Broglie-Bohma bez wprowadzania preferowanej foliacji czasoprzestrzeni. Jego praca pokrywa się również z rozszerzeniem interpretacji Bohma kwantyzacji pól i strun.

Spin

Aby opisać cząstki ze spinem w przypadku nierelatywistycznym (tj. dla małych prędkości cząstek) trzeba modyfikować zarówno równanie fali pilotującej, jak i równanie Schrödingera. Dla układu $N$ cząstek otrzymamy

${\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {Q} _{k}}{dt}}(t)&={\frac {\hbar }{m_{k}}}{\frac {\operatorname {Im} (\psi ,D_{k}\psi )}{(\psi ,\psi )}}(\mathbf {Q} _{1},\ldots ,\mathbf {Q} _{k},\ldots ,\mathbf {Q} _{N},t)\end{aligned}}$

${\begin{aligned}i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (q,t)&={\hat {H}}\psi (q,t)\end{aligned}}$

gdzie teraz Hamiltonian ma postać

${\hat {H}}=-\sum _{k=1}^{N}{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{k}}}D_{k}^{2}+V(q_{k})-\sum _{k=1}^{N}\mu _{k}{\frac {\mathbf {S} _{k}}{s_{k}}}\cdot \mathbf {B} (\mathbf {q} _{k})$

$\mu _{i}$ jest momentem magnetycznym i -tej cząstki, $\mathbf {S} _{k}$ jest operatorem spinu działającym na tę cząstkę, $s_{k}$ jest jej liczbą spinową (np. $s_{k}=1/2$ dla elektronu);

$D_{k}=\nabla _{k}-ie_{k}\mathbf {A} (\mathbf {q} _{k})$,

$e_{k}$ jest ładunkiem k-tej cząstki, $\mathbf {B} (\mathbf {q} _{k})$ oraz $\mathbf {A} (\mathbf {q} _{k})$ oznaczają odpowiednio wektor indukcji pola magnetycznego oraz potencjał wektorowy (wielkości te charakteryzują zewnętrzne pole elektromagnetyczne, z jakim oddziałuje układ cząstek); $(\cdot ,\cdot )$ oznacza iloczyn skalarny wektorów $\psi$ określony w przestrzeni spinowej $\mathbb {C} ^{d}$:

$(\phi ,\psi )=\sum _{s=1}^{d}\phi _{s}^{*}\psi _{s}.$

Równanie Schrödingera zostało więc uzupełnione o dodatkowy wyraz odpowiedzialnym za spiny cząstek – otrzymaliśmy równanie Pauliego. W celu rozwiązania równania Pauliego zadajemy:

– pole elektromagnetyczne w punktach przestrzeni fizycznej $\mathbb {R} ^{3}$

– masy, ładunki oraz spiny cząstek

i obliczamy funkcję falową we wszystkich punktach w przestrzeni konfiguracyjnej $\mathbb {R} ^{3N}$. Funkcja falowa ma teraz postać funkcji wektorowej (nazywamy ją spinorem) o wartościach w przestrzeni zespolonej $\mathbb {C} ^{d}$, gdzie d – wymiar przestrzeni. Przestrzeń tą nazywamy przestrzenią spinową, przy tym cząstka o liczbie spinowej s dodaje 2 s+1 składowych do wektora funkcji falowej układu.

Np. 1) dla jednej cząstki o spinie ½ mamy

$\psi (q)={\begin{bmatrix}\psi _{1}(q)\\\psi _{2}(q)\end{bmatrix}},$

a przestrzeń spinowa jest przestrzenią zespoloną $\mathbb {C} ^{2}$.

2) Dla układu dwóch cząstek o spinie 1/2 i jednej o spinie 1 mamy funkcję falową w postaci wektora o 12 składowych i przestrzeń spinowa jest 12 wymiarowa:

$\psi :\mathbb {R} ^{9}\times \mathbb {R} \to \mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{3}$

Kwantowa teoria pola

Dürr i inni (2004) rozszerzyli teorię de Broglie–Bohma o operatory kreacji i anihilacji, nadając teorii nazwę „kwantowej teorii pola typu Bella”. Podstawowym pomysłem było uczynienie przestrzeni konfiguracji (nieskładnej) przestrzenią dla dowolnej liczby cząstek. Przez część czasu układ ewoluuje deterministycznie pod wpływem równania prowadzącego, a liczba cząstek jest ustalona. Jednak podczas procesów stochastycznych, cząstki mogą być tworzone i anihilowane. Rozkład kreacji cząstek dany jest funkcją falową. Sama funkcja falowa ewoluuje przez cały czas nad całą wielocząstkową przestrzenią konfiguracji.

Hrvoje Nikolić wprowadził w pełni deterministyczną teorię de Broglie-Bohma z kreacją i destrukcją cząstek, w której trajektorie cząstek są ciągłe, jednak detektor może zarejestrować kreację lub destrukcją nawet jeśli ta nie miała miejsca.

Zakrzywienie przestrzeni

Teoria de Broglie-Bohma opisuje ruch cząstek w przestrzeni rzeczywistej $\mathbb {R} ^{3}$. Rozszerzenie teorii na dowolną rozmaitość riemannowską nie przedstawia żadnych trudności: równania te mają identyczną postać jak równania ruchu w przestrzeni $\mathbb {R} ^{3}$, ale wszystkie elementy różniczkowe w równaniu Schrödingera i równaniu fali pilotującej, takie jak gradienty czy laplasjany, mają zdefiniowane odpowiedniki na rozmaitościach. Warunki topologiczne i brzegowe można stosować w suplementacji ewolucji równania Schrödingera.

W teorii de Broglie-Bohma z zakrzywioną przestrzenią i spinem, przestrzeń spinowa jest wiązką wektorową nad przestrzenią konfiguracyjną, a potencjał w równaniu Schrödingera jest lokalnym samo-transpozycyjnym operatorem, działającym na przestrzeń.

Zgłębianie nielokalności

Antony Valentini rozszerzył teorię de Broglie-Bohma o sygnałową nielokalność, która umożliwia stosowanie splątania jako zdalnej komunikacji, bez potrzeby klasycznego sygnału „klucza” do odblokowania wiadomości. Przeczy to ortodoksyjnej teorii kwantowej, jednak czyni równoległy wszechświat chaotycznej teorii inflacji obserwowalnym w praktyce.

W przeciwieństwie do teorii de Broglie-Bohma, w teorii Valentiniego ewolucja funkcji falowej zależy również od zmiennych ontologicznych. Wprowadza to niestabilność, pętlę sprzężenia zwrotnego, które wypycha ukryte zmienne poza „subkwantową śmierć cieplną”. Wynikowa teoria jest nieliniowa i nie-unitarna.

Wyprowadzenia teoria de Broglie-Bohma

Teoria de Broglie-Bohma została wyprowadzona wiele razy i na wiele sposobów. Poniżej przedstawionych jest sześć różnych wyprowadzeń, które prowadzą do innych sposobów rozumienia i rozszerzania teorii.

• Równanie Schrödingera można wyprowadzić przy użyciu hipotezy kwantów świetlnych Einsteina: $E=\hbar \omega$ oraz hipotezy de Broglie: $\mathbf {p} =\hbar \mathbf {k}$.

Równanie prowadzące można otrzymać w podobny sposób. Zakładamy falę płaską: $\psi (\mathbf {x} ,t)=Ae^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega t)}$. Zauważamy, że $i\mathbf {k} =\nabla \psi /\psi$. Zakładając, że $\mathbf {p} =m\mathbf {v}$ dla prawdziwej prędkości cząstki, mamy $\mathbf {v} ={\frac {\hbar }{m}}Im\left({\frac {\nabla \psi }{\psi }}\right)$. Mamy zatem równanie prowadzące.

Zauważmy, że wyprowadzenie to nie używało równania Schrödingera.

• Kolejną metodą wyprowadzenia jest zaprezentowanie ewolucji gęstości względem czasu. Metodę tą cytuje Bell. Ta metoda jest dość ogólna, by być punktem startowym dla wielu alternatywnych teorii. Punktem startowym jest równanie ciągłości, $-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=\nabla \cdot (\rho v^{\psi })$ dla gęstości $\rho =|\psi |^{2}$. Równanie to określa przepływ prawdopodobieństwa wzdłuż prądu. Bierzemy pole prędkości, związane z prądem, jako pole prędkości, którego krzywa całki prowadzi do ruchu cząstki.

• Metodą dla cząstek pozbawionych spinu jest wykonanie biegunowej dekompozycji funkcji falowej i przekształcenie równania Schrödingera w zestaw dwóch oddziałujących ze sobą równań: równania ciągłości, jak powyżej, oraz równanie Hamiltona-Jacobiego. Jest to metoda użyta przez Bohma w 1952. Dekompozycja i równania są następujące:

Dekompozycja: $\psi (\mathbf {x} ,t)=R(\mathbf {x} ,t)e^{iS(\mathbf {x} ,t)/\hbar }.$ Note $R^{2}(\mathbf {x} ,t)$ corresponds to the probability density $\rho (\mathbf {x} ,t)=|\psi (\mathbf {x} ,t)|^{2}$.

Równanie ciągłości: $-{\frac {\partial \rho (\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}=\nabla \cdot \left(\rho (\mathbf {x} ,t){\frac {\nabla S(\mathbf {x} ,t)}{m}}\right)$

Równanie Hamiltona-Jacobiego: ${\frac {\partial S(\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}=-\left[V+{\frac {1}{2m}}(\nabla S(\mathbf {x} ,t))^{2}-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}R(\mathbf {x} ,t)}{R(\mathbf {x} ,t)}}\right].$

Równanie Hamiltona-Jacobiego jest równaniem wyprowadzonym z układu newtonowskiego z potencjałem $V-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}R}{R}}$ oraz polem prędkości ${\frac {\nabla S}{m}}.$ Potencjał $V$ jest potencjałem klasycznym, który pojawia się w równaniu Schrödingera, a drugi człon, zawierający $R$, jest potencjałem kwantowym. Jest to terminologia wprowadzona przez Bohma.

Prowadzi to do patrzenia na teorię kwantową jak na cząstki, poruszające się pod wpływem sił klasycznych, modyfikowanych przez siły kwantowe. Aczkolwiek w przeciwieństwie do standardowej mechaniki Newtona, początkowe pole prędkości jest od razu wyznaczone przez ${\frac {\nabla S}{m}}$, co jest sygnałem, że jest to teoria pierwszego, nie drugiego, rzędu.

Zobacz też

• David Bohm
• fala Faradaya
• interpretacja mechaniki kwantowej
• mechanika kwantowa
• równania Madelunga
• teoria fali pilotującej
• teoria zmiennych ukrytych

Bibliografia

• David Z. Albert, Bohm’s Alternative to Quantum Mechanics, Scientific American, 1994, vol. 270, s. 58–67.
• David Bohm, A Suggested Interpretation of the Quantum Theory in Terms of „Hidden Variables”, I, Physical Review, 1952 vol. 85, s. 166–179.
• David Bohm, A Suggested Interpretation of the Quantum Theory in Terms of „Hidden Variables”, II, Physical Review, 1952, vol.85, s. 180–193.
• David Bohm, B.J. Hiley, The Undivided Universe: An ontological interpretation of quantum theory, London, Routledge, 1993.
• Detlef Dürr, Sheldon Goldstein, Roderich Tumulka and Nino Zanghì, Bohmian mechanics, 2004.
• Detlef Durr, Sheldon Goldstein, Roderich Tumulka, Nino Zangh. Bohmian Mechanics and Quantum Field Theory. „Phys. Rev. Lett.”. 93, 2004. DOI: 10.1103/PhysRevLett.93.090402. .
• Sheldon Goldstein, Bohmian Mechanics, 2013; w: Stanford Encyclopedia of Philosophy.
• Peter R. Holland, The Quantum Theory of Motion: An Account of the de Broglie–Bohm Causal Interpretation of Quantum Mechanics, Cambridge, Cambridge University Press 1993.
• Bohmian mechanics on arxiv.org.

Linki zewnętrzne

• Mechanika Bohma, Stanford Encyclopedia of Philosophy