Twierdzenie Carathéodory’ego (teoria miary)

Twierdzenie Carathéodory’ego – twierdzenie teorii miary umożliwiające konstrukcję miary w oparciu o daną miarę zewnętrzną; bywa ono stosowane do konstrukcji miary Lebesgue’a z miary zewnętrznej Lebesgue’a. Twierdzenie to zostało udowodnione przez Constantina Carathéodory’ego w 1914 roku.

Twierdzenie

Niech $X$ będzie niepustym zbiorem oraz

$\mu ^{*}\colon P(X)\to [0,\infty ]$

będzie funkcją, dla której

$\mu ^{*}(\varnothing )=0,$

gdzie $P(X)$ oznacza zbiór potęgowy zbioru $X.$

Mówi się, że zbiór $A\subseteq X$ spełnia warunek Carathéodory’ego (względem $\mu ^{*}$), gdy dla każdego zbioru $E\subseteq X$ zachodzi równość

$\mu ^{*}(E)=\mu ^{*}(E\cap A)+\mu ^{*}(E\cap A^{\operatorname {c} }).$

Wówczas rodzina $C(\mu ^{*})$ podzbiorów $X,$ które spełniają warunek Carathéodory’ego względem $\mu ^{*},$ jest algebrą zbiorów, a $\mu$ będąca zawężeniem $\mu ^{*}$ do $C(\mu ^{*})$ jest miarą skończenie addytywną (tzn. jest addytywna). Co więcej, jeśli $\mu ^{*}$ jest miarą zewnętrzną (tzn. jest również monotoniczna i przeliczalnie podaddytywna), to $C(\mu ^{*})$ jest σ-algebrą oraz $\mu ^{*}$ zawężona do rodziny $C(\mu ^{*})$ jest miarą (tzn. jest przeliczalnie addytywna), która jest zupełna.

Dowód

Dowód składa się z pięciu części. Wykorzystuje on standardowe techniki, szeroko stosowane w teorii miary. Pierwsze dwa kroki mają na celu wykazanie, iż $C(\mu ^{*})$ jest algebrą, zaś $\mu$ jest addytywna; trzeci i czwarty gwarantują – przy założeniu, iż $\mu ^{*}$ jest miarą zewnętrzną – że rodzina $C(\mu ^{*})$ jest zamknięta ze względu na sumy przeliczalnie wielu zbiorów, a $\mu ^{*}$ jest σ-addytywna, tzn. $C(\mu ^{*})$ jest σ-algebrą, a $\mu$ określoną na niej miarą. W ostatnim kroku dowodzi się zupełności miary $\mu .$

Algebra

Należenie zbioru pustego

Zbiór pusty spełnia warunek Carathéodory’ego, ponieważ z założenia $\mu ^{*}(\varnothing )=0$ oraz

$\mu ^{*}(E\cap \varnothing )+\mu ^{*}(E\cap X)=\mu ^{*}(\varnothing )+\mu ^{*}(E)=\mu ^{*}(E)$

dla każdego $E$ zawartego w $X.$

Zamkniętość ze względu na dopełnienia

Warunek Carathéodory’ego jest niezmienniczy względem brania dopełnienia, tzn. jeśli $A$ spełnia warunek Carathéodory’ego, to spełnia go również $A^{c}.$

Zamkniętość ze względu na sumy skończone

Niech $A$ oraz $B$ należą do $C(\mu ^{*})$ oraz $E$ będzie dowolnym podzbiorem $X.$ Zachodzą równości

$\mu ^{*}(E)=\mu ^{*}(E\cap A)+\mu ^{*}(E\cap A^{\operatorname {c} })$

oraz

$\mu ^{*}(E)=\mu ^{*}(E\cap A)+\mu ^{*}(E\cap A^{\operatorname {c} }\cap B)+\mu ^{*}(E\cap A^{\operatorname {c} }\cap B^{\operatorname {c} }).$

Z tożsamości $E\cap A=E\cap (A\cup B)\cap A$ oraz $E\cap A^{c}\cap B=E\cap (A\cup B)\cap A^{c}$ oraz założenia, że $A$ spełnia warunek Carathéodory’ego wynika, iż

$\mu ^{*}{\big (}E\cap (A\cup B){\big )}=\mu ^{*}(E\cap A)+\mu ^{*}(E\cap A^{\operatorname {c} }\cap B),$

skąd

$\mu ^{*}(E)=\mu ^{*}{\big (}E\cap (A\cup B){\big )}+\mu ^{*}(E\cap A^{\operatorname {c} }\cap B^{\operatorname {c} })=\mu ^{*}{\big (}E\cap (A\cup B){\big )}+\mu ^{*}{\big (}E\cap (A\cup B)^{\operatorname {c} }{\big )}.$

Dowodzi to, że $A\cup B$ spełnia warunek Carathéodory’ego, a zatem należy do $C(\mu ^{*}).$

Addytywność zawężenia

Dla danych zbiorów rozłącznych $A$ i $B$ należących do $C(\mu ^{*})$ zachodzi równość

$\mu ^{*}(A\cup B)=\mu ^{*}{\big (}(A\cup B)\cap A{\big )}+\mu ^{*}{\big (}(A\cup B)\cap A^{\operatorname {c} }{\big )}=\mu ^{*}(A)+\mu ^{*}(B).$

Pokazuje to, że zawężenie $\mu ^{*}$ do rodziny $C(\mu ^{*})$ jest addytywną funkcją zbiorów.

σ-algebra

Niżej zakłada się, że $\mu ^{*}$ jest miarą zewnętrzną.

Niech $(C_{i})$ będzie przeliczalną rodziną zbiorów należących do $C(\mu ^{*})$ oraz niech $E$ będzie dowolnym podzbiorem zbioru $X.$ Utwórzmy przeliczalne rodziny $(A_{i}),$ $(B_{i})$ następująco:

$A_{1}=C_{1},\quad C_{n}=A_{n}\setminus {\Big (}\bigcup _{i=1}^{n-1}A_{i}{\Big )}\quad {\text{dla }}n=2,3,4,\dots$

$B_{n}=\bigcup _{i=1}^{n}A_{i},$

oraz wprowadźmy oznaczenie

$B:=\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}.$

Zbiory $A_{n}$ są parami rozłączne i zachodzi oczywista równość

$B=\bigcup _{i=1}^{\infty }C_{i}.$

Dla każdego $n$ zachodzi inkluzja $B_{n}\subseteq B,$ skąd $B_{n}^{c}\supseteq B^{c}.$ Korzystając z monotoniczności $\mu ^{*},$ otrzymujemy oszacowanie

$\mu ^{*}(E)=\mu ^{*}(E\cap B_{n})+\mu ^{*}(E\cap B_{n}^{\operatorname {c} })\geqslant \mu ^{*}(E\cap B_{n})+\mu ^{*}(E\cap B^{\operatorname {c} }).$

Z faktu, że każdy zbiór $A_{n}$ spełnia warunek Carathéodory’ego, wnioskujemy, że dla $n\geqslant 2$ prawdziwa jest tożsamość

$\mu ^{*}(E\cap B_{n})=\mu ^{*}(E\cap A_{n})+\mu ^{*}(E\cap B_{n-1}).$

Na mocy zasady indukcji matematycznej, równość

$\mu ^{*}(E\cap B_{n})=\sum _{i=1}^{n}\mu ^{*}(E\cap A_{i})$

zachodzi dla wszystkich $n\in \mathbb {N} .$ Ostatecznie,

$\mu ^{*}(E)\geqslant \sum _{i=1}^{n}\mu ^{*}(E\cap A_{i})+\mu ^{*}(E\cap B^{\operatorname {c} })\quad (n\in \mathbb {N} ).$

Wykonując przejście graniczne, otrzymujemy oszacowanie

$\mu ^{*}(E)\geqslant \sum _{i=1}^{\infty }\mu ^{*}(E\cap A_{i})+\mu ^{*}(E\cap B^{\operatorname {c} }).$

Z przeliczalnej podaddytywności $\mu ^{*}$ wynika nierówność

$\sum _{i=1}^{\infty }\mu ^{*}(E\cap A_{i})\geqslant \mu ^{*}\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }(E\cap A_{i})\right)=\mu ^{*}(E\cap B).$

Łącząc otrzymane związki i korzystając ponownie z przeliczalnej podaddytywności $\mu ^{*},$ uzyskujemy zależność

$\mu ^{*}(E)\geqslant \mu ^{*}(E\cap B)+\mu ^{*}(E\cap B^{\operatorname {c} })\geqslant \mu ^{*}{\big (}(E\cap B)\cup (E\cap B^{\operatorname {c} }){\big )}=\mu ^{*}(E).$

Miara

Niżej zakłada się, że $\mu ^{*}$ jest miarą zewnętrzną.

Niech $(A_{i})$ będzie przeliczalną rodziną parami rozłącznych zbiorów należących do $C(\mu ^{*}).$ Niech ponadto $B$ będzie sumą wszystkich zbiorów $A_{i}.$ Z addytywności i monotoniczności $\mu ^{*}$ wynika, że dla dowolnego $n$ zachodzi równość

$\mu ^{*}(A_{1})+\ldots +\mu ^{*}(A_{n})=\mu ^{*}(A_{1}\cup \ldots \cup A_{n})\leqslant \mu ^{*}(B).$

Wykonując przejście graniczne, otrzymujemy oszacowanie

$\sum _{i=1}^{\infty }\mu ^{*}(A_{i})\leqslant \mu ^{*}(B).$

Przeliczalna podaddytywność $\mu ^{*}$ daje nierówność w drugą stronę.

Zupełność

Niżej zakłada się, że $\mu ^{*}$ jest miarą zewnętrzną.

Należy wykazać, że każdy podzbiór $A$ zbioru $X$ spełniający warunek $\mu ^{*}(A)=0$ należy do $C(\mu ^{*}).$ Niech $E$ będzie dowolnym podzbiorem zbioru $X.$ Wówczas

$\mu ^{*}(E)=\mu ^{*}{\big (}(E\cap A)\cup (E\cap A^{\operatorname {c} }){\big )}\leqslant \mu ^{*}(E\cap A)+\mu ^{*}(E\cap A^{\operatorname {c} })\leqslant \mu ^{*}(A)+\mu ^{*}(E)=\mu ^{*}(E).$

Niech $Z$ będzie podzbiorem zbioru $X$ spełniającym warunek $\mu ^{*}(Z)=0$ oraz niech $A$ będzie dowolnym podzbiorem zbioru $Z.$ Z monotoniczności $\mu ^{*}$ wynika, że $0\leqslant \mu ^{*}(A)\leqslant \mu ^{*}(Z)=0,$ a więc $\mu ^{*}(A)=0.$ Ostatecznie, $A$ należy do rodziny $C(\mu ^{*}).$

Zobacz też

• twierdzenie Hahna-Kołmogorowa

Bibliografia

• Paul R. Halmos: Measure Theory. T. 18. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 2001, seria: Graduate Texts in Mathematics. ISBN 3-540-90088-8. Brak numerów stron w książce
• Vladimir Bogachev: Measure theory. T. 1. Springer, 2006. ISBN 3-540-34513-2. Brak numerów stron w książce
• Gerald Folland: Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications. Wiley-Interscience, 1999. ISBN 0-471-31716-0. Brak numerów stron w książce
• David H. Fremlin: Measure theory. Volume 1: The Irreducible Minimum. Torres-Fremlin, 2004. Brak numerów stron w książce
• Serge Lang: Real and Functional Analysis. Springer, 1993. ISBN 0-387-94001-4. Brak numerów stron w książce
• Witold Kołodziej: Analiza matematyczna. Wyd. II. PWN, 1978. ISBN 83-01-00275-1. Brak numerów stron w książce