Diagrama mostrando uma série geométrica 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ⋯ que converge para 2.
Uma progressão geométrica (abreviada como P.G.) é uma sequência numérica na qual cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante , chamada de razão da progressão geométrica.[ 1] A razão é indicada geralmente pela letra
q
{\displaystyle q}
(inicial da palavra "quociente ").
Alguns exemplos de progressão geométrica:
(
1
,
2
,
4
,
8
,
16
,
32
,
64
,
128
,
256
,
512
,
1024
,
2048
,
…
)
,
{\displaystyle \left(1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,\ldots \right),}
em que
q
=
2
{\displaystyle q=2}
e
a
1
=
1
;
{\displaystyle a_{1}=1;}
[ 1]
(
1
,
1
2
,
1
4
,
1
8
,
1
16
,
1
32
,
1
64
,
1
128
,
1
256
,
…
)
,
{\displaystyle \left(1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{8}},{\frac {1}{16}},{\frac {1}{32}},{\frac {1}{64}},{\frac {1}{128}},{\frac {1}{256}},\ldots \right),}
em que
q
=
1
2
{\displaystyle q={\frac {1}{2}}}
e
a
1
=
1
;
{\displaystyle a_{1}=1;}
(
−
3
,
9
,
−
27
,
81
,
−
243
,
729
,
−
2187
,
…
)
,
{\displaystyle \left(-3,9,-27,81,-243,729,-2187,\ldots \right),}
em que
q
=
−
3
{\displaystyle q=-3}
e
a
1
=
−
3
;
{\displaystyle a_{1}=-3;}
(
7
,
7
,
7
,
7
,
7
,
7
,
7
,
7
,
7
,
7
,
…
)
,
{\displaystyle \left(7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,\ldots \right),}
em que
q
=
1
{\displaystyle q=1}
e
a
1
=
7
;
{\displaystyle a_{1}=7;}
(
3
,
0
,
0
,
0
,
0
,
0
,
0
,
0
,
0
,
0
,
…
)
,
{\displaystyle \left(3,0,0,0,0,0,0,0,0,0,\ldots \right),}
em que
q
=
0
{\displaystyle q=0}
e
a
1
=
3
;
{\displaystyle a_{1}=3;}
Costuma-se denotar por
a
n
{\displaystyle a_{n}}
o n-ésimo termo de uma progressão geométrica. Assim, a progressão fica totalmente definida pelo valor de seu termo inicial
a
1
{\displaystyle a_{1}}
e sua razão q .
A sucessão dos termos é obtida por recursão :
a
n
=
a
1
,
n
=
1
;
{\displaystyle a_{n}=a_{1},n=1;}
a
n
+
1
=
q
⋅
a
n
,
n
=
2
,
3
,
4
,
…
.
{\displaystyle a_{n+1}=q\cdot a_{n},n=2,3,4,\ldots .}
Podemos demonstrar por indução matemática que:
a
n
=
a
1
.
q
n
−
1
.
{\displaystyle a_{n}=a_{1}.q^{n-1}.}
De modo geral, o n-ésimo termo pode ser calculado a partir do m-ésimo termo simplesmente por:
a
n
=
a
m
q
n
−
m
,
n
,
m
∈
Z
{\displaystyle a_{n}=a_{m}\ q^{n-m},~~n,m\in \mathbb {Z} }
A soma dos termos de uma P.G., a partir do primeiro, é definida por
S
n
=
∑
i
=
1
n
a
1
q
i
−
1
=
a
1
+
a
1
q
+
a
1
q
2
+
…
+
a
1
q
n
−
1
.
{\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{1}q^{i-1}=a_{1}+a_{1}q+a_{1}q^{2}+\ldots +a_{1}q^{n-1}.}
Caso
q
≠
1
,
{\displaystyle q\neq 1,}
a soma pode ser descrita pela seguinte fórmula:
S
n
=
a
1
(
1
−
q
n
)
1
−
q
{\displaystyle S_{n}={\frac {a_{1}(1-q^{n})}{1-q}}}
Essa fórmula pode ser explicada dessa maneira:
S
n
=
a
1
+
a
1
q
+
…
+
a
1
q
n
−
1
.
{\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{1}\ q+\ldots +a_{1}\ q^{n-1}.}
Multiplica-se pela razão
q
:
{\displaystyle q:}
q
S
n
=
a
1
q
+
a
1
q
2
+
…
+
a
1
q
n
.
{\displaystyle q\ S_{n}=a_{1}\ q+a_{1}\ q^{2}+\ldots +a_{1}\ q^{n}.}
Subtrai-se a primeira da segunda (qSn - Sn), pois qSn >= Sn, se fizer o contrário irá sempre gerar um valor negativo. Cancelam-se os termos repetidos:
q
S
n
−
S
n
=
a
1
q
n
−
a
1
,
{\displaystyle q\ S_{n}-S_{n}=a_{1}\ q^{n}-a_{1},}
o que é equivalente (através de fatoração por fator comum) a
(
q
−
1
)
S
n
=
a
1
(
q
n
−
1
)
.
{\displaystyle \left(q-1\right)S_{n}=a_{1}\left(q^{n}-1\right).}
Divide-se ambos os termos por
(
q
−
1
)
≠
0
{\displaystyle (q-1)\neq 0}
e o resultado segue.
Soma dos termos dentro de um intervalo da P.G. [ editar | editar código-fonte ]
A soma dos termos de uma progressão geométrica situados no intervalo fechado de
a
m
{\displaystyle a_{m}}
até
a
n
{\displaystyle a_{n}}
é calculada pela seguinte fórmula:
S
(
m
,
n
)
=
a
m
(
q
n
−
m
+
1
−
1
)
q
−
1
.
{\displaystyle S_{(m,n)}={\frac {a_{m}(q^{n-m+1}-1)}{q-1}}.}
Soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica [ editar | editar código-fonte ]
A soma dos infinitos termos de uma P.G. é chamada série geométrica e está bem definida quando
|
q
|
<
1.
{\displaystyle |q|<1.}
Sua soma é:
S
∞
=
∑
n
=
1
∞
a
1
q
n
−
1
=
a
1
1
−
q
.
{\displaystyle S_{\infty }=\sum _{n=1}^{\infty }a_{1}q^{n-1}={\frac {a_{1}}{1-q}}.}
Se
q
≥
1
{\displaystyle q\geq 1}
e
a
1
>
0
{\displaystyle a_{1}>0}
então sua soma é mais infinito e se
q
≥
1
{\displaystyle q\geq 1}
e
a
1
<
0
,
{\displaystyle a_{1}<0,}
sua soma é menos infinito .
S
∞
=
{
a
1
1
−
q
,
|
q
|
<
1
+
∞
,
q
≥
1
,
a
1
>
0
−
∞
,
q
≥
1
,
a
1
<
0
0
,
a
1
=
0.
{\displaystyle S_{\infty }=\left\{{\begin{array}{ll}{\frac {a_{1}}{1-q}},&|q|<1\\+\infty ,&q\geq 1,a_{1}>0\\-\infty ,&q\geq 1,a_{1}<0\\0,&a_{1}=0.\end{array}}\right.}
Obs.: Esta tabela não esgota todos os casos. Ver o caso
q
≤
−
1
,
{\displaystyle q\leq -1,}
por exemplo.
q
{\displaystyle q}
pode ser um número complexo . O tratamento destas séries pode ser visto no artigo sobre séries divergentes .
Produto dos termos de uma progressão geométrica [ editar | editar código-fonte ]
O produto dos termos de uma progressão geométrica, a partir do primeiro, é dada por
P
n
=
a
1
n
.
q
n
.
(
n
−
1
)
2
,
{\displaystyle P_{n}=a_{1}^{n}.q^{\frac {n.(n-1)}{2}},}
e também pode ser determinado sem o conhecimento da razão:
P
n
=
∏
i
=
1
n
a
i
=
(
a
1
×
a
n
)
n
2
,
{\displaystyle P_{n}=\prod _{i=1}^{n}a_{i}=(a_{1}\times a_{n})^{\frac {n}{2}},}
sendo similar à forma do somatório de uma progressão aritmética .
Uma progressão geométrica constante é toda P.G em que todos os termos são iguais, sendo que para isso sua razão
q
{\displaystyle q}
deve ser igual a 1 .
Exemplos de progressões geométricas constantes :
(
4
,
4
,
4
,
4
,
4
,
4
,
4
,
4
,
.
.
.
)
{\displaystyle (4,4,4,4,4,4,4,4,...)}
tem razão
q
=
1
{\displaystyle q=1}
e primeiro termo
a
1
=
4
{\displaystyle a_{1}=4}
(
6
,
6
,
6
,
6
,
6
,
6
,
6
,
6
,
.
.
.
)
{\displaystyle (6,6,6,6,6,6,6,6,...)}
tem razão
q
=
1
{\displaystyle q=1}
e primeiro termo
a
1
=
6
{\displaystyle a_{1}=6}
Uma progressão geométrica crescente é toda P.G em que a razão
q
{\displaystyle q}
é superior a 1 e seu primeiro termo
a
1
{\displaystyle a_{1}}
é superior a 0 ou quando sua razão
q
{\displaystyle q}
está entre 0 e 1 e seu primeiro termo
a
1
{\displaystyle a_{1}}
é inferior a 0 . Obedecendo assim a ordem:
q
>
1
{\displaystyle q>1}
e
a
1
>
0
{\displaystyle a_{1}>0}
ou
0
<
q
<
1
{\displaystyle 0<q<1}
e
a
1
<
0.
{\displaystyle a_{1}<0.}
Exemplos de progressões geométricas crescentes:
(
1
,
3
,
9
,
27
,
81
,
.
.
.
)
{\displaystyle (1,3,9,27,81,...)}
tem razão
q
=
3
{\displaystyle q=3}
e primeiro termo
a
1
=
1.
{\displaystyle a_{1}=1.}
(
−
4
;
−
2
;
−
1
;
−
0
,
5
;
−
0
,
25
;
.
.
.
)
{\displaystyle (-4;-2;-1;-0,5;-0,25;...)}
tem razão
q
=
0
,
5
{\displaystyle q=0,5}
e primeiro termo
a
1
=
−
4.
{\displaystyle a_{1}=-4.}
Uma progressão geométrica decrescente é toda P.G em que a razão
q
{\displaystyle q}
é superior a 1 e seu primeiro termo
a
1
{\displaystyle a_{1}}
é inferior a 0 ou quando sua razão
q
{\displaystyle q}
está entre 0 e 1 e seu primeiro termo
a
1
{\displaystyle a_{1}}
é superior a 0 . Obedecendo assim a ordem:
q
>
1
{\displaystyle q>1}
e
a
1
<
0
{\displaystyle a_{1}<0}
ou
0
<
q
<
1
{\displaystyle 0<q<1}
e
a
1
>
0.
{\displaystyle a_{1}>0.}
Exemplos de progressões geométricas decrescentes:
(
−
4
,
−
8
,
−
16
,
−
32
,
−
64
,
.
.
.
)
{\displaystyle (-4,-8,-16,-32,-64,...)}
tem razão
q
=
2
{\displaystyle q=2}
e primeiro termo
a
1
=
−
4.
{\displaystyle a_{1}=-4.}
(
64
,
32
,
16
,
8
,
4
,
.
.
.
)
{\displaystyle (64,32,16,8,4,...)}
tem razão
q
=
1
/
2
{\displaystyle q=1/2}
e primeiro termo
a
1
=
64.
{\displaystyle a_{1}=64.}
Uma progressão geométrica oscilante é toda P.G em que a razão
q
{\displaystyle q}
é um número negativo , fazendo com que a sequência numérica intercale entre números positivos e negativos. Sendo assim, obedece a ordem:
q
<
0.
{\displaystyle q<0.}
Exemplos de progressões geométricas oscilantes:
(
3
,
−
6
,
12
,
−
24
,
48
,
.
.
.
)
{\displaystyle (3,-6,12,-24,48,...)}
tem razão
q
=
−
2
{\displaystyle q=-2}
e primeiro termo
a
1
=
3.
{\displaystyle a_{1}=3.}
(
4
,
−
16
,
64
,
−
256
,
1024
,
.
.
.
)
{\displaystyle (4,-16,64,-256,1024,...)}
tem razão
q
=
−
4
{\displaystyle q=-4}
e primeiro termo
a
1
=
4.
{\displaystyle a_{1}=4.}
Abaixo temos uma tabela na qual o termo
a
n
=
1
=
2
{\displaystyle a_{n=1}=2}
e o termo
a
n
=
2
=
6
,
{\displaystyle a_{n=2}=6,}
e assim sucessivamente em progressão geométrica.
P
n
=
a
1
⋅
q
(
n
−
1
)
{\displaystyle P_{n}=a_{1}\cdot q^{(n-1)}}
onde
q
=
a
2
(
6
)
a
1
(
2
)
=
3
{\displaystyle q={\frac {a_{2}(6)}{a_{1}(2)}}=3}
n
{\displaystyle n}
a
{\displaystyle a}
1
2
2
6
3
18
4
54
5
162
6
486
7
1.458
8
4.374
9
13.122
10
39.366
11
118.098
12
354.294
13
1.062.882
14
3.188.646
15
9.565.938
16
28.697.814
17
86.093.442
18
258.280.326
19
774.840.978
20
2.324.522.934
Qual é o 8º termo da PG acima?
P
8
=
2
⋅
3
(
8
−
1
)
=
2
⋅
3
7
=
2
⋅
2.187
=
4.374
{\displaystyle {\begin{aligned}P_{8}&=2\cdot 3^{(8-1)}\\&=2\cdot 3^{7}\\&=2\cdot 2.187\\&=4.374\end{aligned}}}
É possível a obtenção do enésimo termo da progressão geométrica dado dois outros termos quaisquer, conforme explicações:
Inicialmente é necessário obter-se o quociente(
q
{\displaystyle q}
).
q
=
P
n
P
m
n
−
m
{\displaystyle {\begin{aligned}q&={\sqrt[{n-m}]{\frac {P_{n}}{P_{m}}}}\end{aligned}}}
Após obtido o quociente(
q
{\displaystyle q}
) o enésimo(
e
{\displaystyle e}
) termo procurado se encontra a partir da sua distância em relação ao termo
n
,
{\displaystyle n,}
ou seja,
(
n
−
e
)
.
{\displaystyle (n-e).}
P
e
=
P
n
q
(
n
−
e
)
{\displaystyle {\begin{aligned}P_{e}&={\frac {Pn}{{q}^{(n-e)}}}\end{aligned}}}
Exemplo ilustrativo
Dado que uma Progressão Geométrica tem o 5º termo(
m
{\displaystyle m}
) igual a 1.250 e o 8º termo(
n
{\displaystyle n}
) igual a 156.250, qual é o valor do 2º termo(
e
{\displaystyle e}
)?
q
=
156.250
1.250
8
−
5
q
=
125
3
q
=
5
{\displaystyle {\begin{aligned}q&={\sqrt[{8-5}]{\frac {156.250}{1.250}}}\\q&={\sqrt[{3}]{125}}\\q&=5\end{aligned}}}
Agora usando o quociente (
q
{\displaystyle q}
) na fórmula do enésimo termo (
P
e
{\displaystyle P_{e}}
).
P
e
=
156.250
5
(
8
−
2
)
P
e
=
156.250
5
6
P
e
=
156.250
15.625
P
e
=
10
{\displaystyle {\begin{aligned}P_{e}&={\frac {156.250}{5^{(8-2)}}}\\P_{e}&={\frac {156.250}{5^{6}}}\\P_{e}&={\frac {156.250}{15.625}}\\P_{e}&=10\end{aligned}}}
O 2º termo da PG dada é igual a 10.
Referências