Teorema de Bolzano-Weierstrass
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O teorema de Bolzano-Weierstrass estabelece que um conjunto do é sequencialmente compacto se e somente se é fechado e limitado.
Por sequencialmente compacto, entende-se que toda sequência extraída do conjunto, possui uma subsequência convergente. Ou seja, se é um conjunto seqüencialmente compacto e é uma seqüência de pontos pertencentes a , então existe uma subseqüência tal que:
Um conjunto é dito fechado se toda sequência convergente contida em converge em , ou seja:
- e , então:
Um conjunto é dito limitado se estiver contido em alguma esfera de raio finito.
Lema de Bolzano-Weierstrass na reta
editarEstebeleceremos o seguinte lema que nos permitirá dar seqüência à demonstração do teorema.
Seja , uma sequencia limitada em , então existe uma subsequência convergente.
Demonstração: Primeiramente, defina
Como é limitada, existe um intervalo tal que:
Seja o ponto médio entre e .
Como , deve haver pelo menos um destes intervalos com a propriedade que pertence a ele infinitas vezes. Escolha um destes intervalos.
Defina como qualquer elemento da sequência que pertence ao intervalo escolhido contando que .
Se o intervalo escolhido foi aquele que fica à direita, então defina:
Caso contrário escolha:
Observe que:
- , ou seja, o comprimento do intervalo foi reduzido pela metade.
Repita este processo recursivamente, de forma a obter uma sequência de intervalos e de pontos com as seguintes propriedades:
Assim, é uma sequência não-decrescente e limitada superiormente por , portanto converge para um limite, digamos, . é uma sequência não-crescente e limitada inferiormente por , portanto também converge para um limite .
Mas , portanto . Como , o teorema do confronto estabelece que converge para o mesmo limite.
Lema de Bolzano-Weierstrass em mais dimensões
editarA demonstração pode ser feita de duas formas.
Uma delas é generalizar a demonstração acima para :
Então seja limitada em , existe uma hipercubo (a rigor, um hiperparalelogramo) que contém a sequência:
Dividindo-se, em cada passo, o hipercubo em sub-hipercubos, constrói-se uma sequência da mesma forma como em .
Agora escreva as componentes do vetor . Como , temos que cada componente está convergindo e, portanto, existe o limite: O resultado segue.
Outra forma é por indução finita na dimensão m:
Para m = 1, temos o resultado em
Se vale para , então, dada uma sequência em , temos que as coordenadas de 1 a m estão no , portanto existe uma subsequência convergente para estas coordenadas. A m+1-ésima coordenada desta subsequência está em , portanto existe um sub-sub-sequência que converge para esta última coordenada. Agora é fácil ver que esta sub-sub-sequência converge para todas coordenadas, logo converge em - o que prova o resultado.
Fechado e limitado implica sequencialmente compacto
editarConsidere que um conjunto seja fechado e limitado, queremos mostrar que é sequencialmente compacto.
Seja uma sequência extraída do conjunto, como o conjunto é limitado, a sequência também o é. Pelo lema acima, ela admite uma subsequência convergente. Como o conjunto é fechado, o limite pertence ao conjunto.
Sequencialmente compacto implica limitado
editarSeja um conjunto não-limitado. Por não ser limitado, deve possuir uma sequência tal que: que, portanto não converge.
Logo o conjunto não é sequêncialmente compacto.
Sequencialmente compacto implica fechado
editarSeja um conjunto seqüencialmente compacto e seja um sequência convergente extraída de , da compacidade, segue que o limite pertence a e o resultado segue.
Ver também
editar- Teorema de Heine-Borel que afirma que um conjunto é compacto se e somente se é fechado e limitado.
- Paradoxos do infinito
- Bernard Bolzano
- Karl Weierstrass
Bibliografia
editar- Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis (em inglês). [S.l.]: McGraw-Hill