Poliedru Kepler–Poinsot

În geometrie, un poliedru Kepler–Poinsot este unul dintre cele patru poliedre stelate regulate.^[1]

Marele dodecaedru

Micul dodecaedru stelat

Marele icosaedru

Marele dodecaedru stelat

Ele pot fi obținute prin stelarea dodecaedrului și icosaedrului regulate, și diferă de acestea prin faptul că au fețele sau figurile vârfurilor în formă de pentagramă. Toate pot fi văzute ca analoage tridimensionale ai pentagramei într-un fel sau altul.

Caracteristici

Neconvexitate

Aceste poliedre au fețele sau figurile vârfurilor în formă de pentagramă (pentagon stelat). Micul dodecaedru stelat și marele dodecaedru stelat au fețele în formă de pentagramă. iar marele dodecaedru și marele icosaedru au figurile vârfurilor în formă de pentagramă.

În toate cazurile, două fețe se pot intersecta de-a lungul unei linii care nu este o muchie a ambelor fețe, astfel încât o parte a fiecărei fețe trece prin interiorul corpului. Astfel de linii de intersecție nu fac parte din structura poliedrică și sunt uneori numite muchii false. De asemenea, acolo unde trei astfel de linii se intersectează într-un punct care nu este un colț al vreunei fețe, aceste puncte sunt vârfuri false. Imaginile din secțiunea Vârfuri și muchii comune au mici sfere în vârfurile adevărate și linii albastre de-a lungul muchiilor adevărate.

De exemplu, micul dodecaedru stelat are 12 fețe pentagramice cu partea centrală pentagonală ascunsă în interiorul corpului. Părțile vizibile ale fiecărei fețe cuprind cinci triunghiuri isoscele care se ating în cinci puncte în jurul pentagonului. S-ar putea trata aceste triunghiuri ca 60 de fețe separate pentru a obține un nou poliedru neregulat care arată identic în exterior. Fiecare muchie ar fi acum împărțită în trei muchii mai scurte (de două feluri diferite), iar cele 20 de vârfuri false ar deveni adevărate, astfel încât să avem un total de 32 de vârfuri (din nou de două feluri). Pentagoanele interioare ascunse nu ar mai face parte din suprafața poliedrică și ar putea dispărea. Acum formula lui Euler dă: $60-90+32=2\,$ . Însă acest poliedru nu mai este cel descris de simbolul Schläfli {5/2, 5}, prin urmare nu poate fi un poliedru Kepler–Poinsot, chiar dacă arată din exterior ca unul dintre ele.

Caracteristica Euler χ

Un poliedru Kepler–Poinsot își acoperă sfera sa circumscrisă de mai multe ori, cu centrele fețelor ca puncte de înfășurare în jurul lor, iar vârfurile în celelalte. Din această cauză acestea nu sunt neapărat echivalente topologic cu sfera așa cum sunt poliedrele platonice și, în special, relația Euler

\chi =V-M+F=2\,

nu este întotdeauna aceasta. Schläfli a susținut că toate poliedrele trebuie să aibă χ = 2 și a respins micul dodecaedru stelat și marele dodecaedru ca poliedre adecvate. Această poziție nu a fost niciodată susținută pe scară largă. O formă modificată a formulei Euler, folosind noțiunea de densitate (D) a figurilor vârfurilor ( $d_{v}$ ) și fețelor ( $d_{f}$ ) a fost dată de Arthur Cayley, și este valabilă atât pentru poliedrele convexe (unde factorii de corecție sunt toți 1), cât și pentru poliedrele Kepler–Poinsot:

d_{v}V-M+d_{f}F=2D

.

Dualitate și poligoanele Petrie

Poliedrele Kepler–Poinsot există în perechi duale. Dualele au același poligon Petrie sau, mai exact, poligoane Petrie cu aceeași proiecție ortogonală bidimensională.

Următoarele imagini prezintă cei doi compuși duali cu aceeași rază mediană. Ele arată, de asemenea, că poligoanele Petrie sunt poligoane necoplanare. Două relații descrise în articolul de mai jos pot fi văzute în imagini: că marginile violete sunt aceleași și că fețele verzi se află în aceleași planuri.

Muchia orizontală în față	Muchia verticală în față	Poligon Petrie
micul dodecaedru stelat {5/2, 5}	marele dodecaedru {5, 5/2}	hexagon {6}
marele icosaedru {3, 5/2}	marele dodecaedru stelat {5/2, 3}	decagramă {10/3}

Compus de sD și gD cu hexagoanele Petrie (sD și gD singure)

Compus de gI și gsD cu decagramele Petrie (gI și gsD singure)

Rezumat

Nume (Prescurtare Conway)	Schläfli {p, q} și Coxeter	Fe- țe {p}	Mu- chii	Vâr- furi {q}	Figura vârfului, (config.)	Poligon Petrie	χ	Den- si- tate	Si- me- trie	Dual
marele dodecaedru (gD)	{5, 5/2}	12 {5}	30	12 {5/2}	(5⁵)/2	{6}	−6	3	I_h	micul dodecaedru stelat
micul dodecaedru stelat (sD)	{5/2, 5}	12 {5/2}	30	12 {5}	(5/2)⁵	{6}	−6	3	I_h	marele dodecaedru
marele icosaedru (gI)	{3, 5/2}	20 {3}	30	12 {5/2}	(3⁵)/2	{10/3}	2	7	I_h	marele dodecaedru stelat
marele dodecaedru stelat (sgD = gsD)	{5/2, 3}	12 {5/2}	30	20 {3}	(5/2)³	{10/3}	2	7	I_h	marele icosaedru

Relații între poliedrele regulate

Sistemul de relații Conway între cele șase poliedre (ordonate vertical după densitate)^[2]

Terminologia operațională Conway

John Conway definește poliedrele Kepler–Poinsot ca măriri și stelații ale poliedrelor convexe. În denumirile sale micul dodecaedru stelat este chiar dodecaedrul stelat.

icosaedru (I)	dodecaedru (D)
marele dodecaedru (gD)	dodecaedrul stelat (sD)
marele icosaedru (gI)	marele dodecaedru stelat (sgD = gsD)

Stelația (engleză stellation) schimbă fețele pentagonale în pentagrame. (În acest sens, stelația este o operație unică și nu trebuie confundată cu cea mai generală, stelarea, descrisă mai jos.)

Mărirea (engleză greatening) menține tipul fețelor, deplasându-le și redimensionându-le în planuri paralele.

Ilustrarea relațiilor Conway

diagramă

Poliedrele din această secțiune sunt prezentate cu același rază mediană.

stelare

D

sD

gD

sgD = gsD

mărire

dualitate

Stelări și fațetări

Marele icosaedru este una dintre stelările icosaedrului. (v. The Fifty-Nine Icosahedra) Celelalte trei sunt toate stelările dodecaedrului.

Marele dodecaedru stelat este o fațetare a dodecaedrului.
Celelalte trei sunt fațetări ale icosaedrului.

Stelări și fațetări
Convexe	icosaedru			dodecaedru
Stelări	gI (cel cu fețele galbene)			gD	sD	gsD
Fațetări	gI	gD	sD	gsD (cel cu vârfurile galbene)

Dacă intersecțiile sunt tratate drept muchii și vârfuri noi, corpurile obținute nu vor fi poliedre regulate, dar pot fi considerate în continuare stelări.

Vârfuri și muchii comune

Marele dodecaedru stelat are vârfurile în comun cu dodecaedrul. Celelalte trei poliedre Kepler–Poinsot au în comun pe ale lor cu icosaedrul. Scheletele poliedrelor care au în comun vârfurile sunt topologic echivalente.

icosaedru	marele dodecaedru	marele icosaedru	micul dodecaedru stelat	dodecaedru	marele dodecaedru stelat
au în comun vârfurile și muchiile		au în comun vârfurile și muchiile		au în comun vârfurile, schelete ale unui graf dodecaedric
au în comun vârfurile, schelete ale unui graf icosaedric

Dodecaedrele stelate

Anvelopă și nucleu

Micul și marele dodecaedru stelat pot fi considerate dodecaedre regulate, iar marele dodecaedru unul cu muchiile și fețele extinse până se intersectează.
Fețele pentagonale ale nucleelor acestora sunt părțile invizibile ale fețelor pentagramice ale poliedrului stelat.

La micul dodecaedru stelat anvelopa este de $\varphi$ ori mai mare ca nucleul, iar pentru cel mare de $\varphi +1=\varphi ^{2}$ ori mai mare. (v. secțiunea de aur)
(Sfera mediană este o măsură obișnuită pentru compararea dimensiunilor diferitelor poliedre.)

Anvelopa și nucleul dodecaedrelor stelate
Anvelopă	Poliedru stelat	Nucleu	${\frac {\text{raza⃰ anvelopei}}{\text{raza nucleului}}}$	${\frac {\text{raza nucleului}}{\text{raza anvelopei}}}$
			${\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}=1.61803...$	${\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}=0.61803...$
			${\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}=2.61803...$	${\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}=0.38196...$
⃰ Aceste raze se referă la razele sferelor mediane ale anvelopei, respectiv nucleului. Poliedrele platonice din aceste imagini au același rază a sferei mediane. Asta implică faptul că pentagramele au aceeași dimensiune și că nucleul are aceeași lungime a muchiei.

Augmentări

Tradițional, cele două poliedre stelate au fost definite ca „augmentări”, adică ca dodecaedru și icosaedru cu piramide adăugate pe fețele lor.

Kepler numește micul dodecaedru stelat drept „dodecaedru augmentat” (apoi poreclindu-l „arici”).^[3] În opinia sa, marea stelare este legată de icosaedru, iar cea mică de dodecaedru.^[4]

Aceste definiții informale continuă să fie folosite. De exemplu. MathWorld afirmă că cele două poliedre stelate pot fi construite adăugând piramide pe fețele poliedrelor platonice.^[5]^[6] Aceasta doar ajută la vizualizarea formei acestor poliedre și nu este de fapt o afirmație că intersecțiile muchiilor sunt vârfuri (ele sunt vârfuri false). Conform acestor definiții, aceste două poliedre stelate ar fi topologic echivalente cu dodecaedrul pentakis, respectiv icosaedrul triakis.

Dodecaedrele stelate drept augmentări
Nucleu	Poliedru stelat	Poliedru Catalan

Simetrie

Toate poliedrele Kepler–Poinsot au simetrie icosaedrică, la fel ca anvelopele lor convexe.

Marele icosaedru și marele dodecaedru stelat (dualul său) seamănă cu icosaedrul și dualul său prin faptul că au fețe și vârfuri care se reflectă față de axele de simetrie de 3 ori (galben) respectiv de 5 ori (roșu).
La marele dodecaedru și micul dodecaedru stelat (dualul său) toate fețele și vârfurile se reflectă față de axele de simetrie de 5 ori (deci nu există elemente galbene în aceste imagini).

Tabelul următor prezintă poliedrele în perechi duale. În rândul de sus sunt afișate cu simetrie piritoedrică, în rândul de jos cu simetrie icosaedrică (la care se referă culorile menționate).

Tabelul de mai jos prezintă proiecțiile ortogonale ale reflexiilor față de axele de simetrie de 5 ori (roșu), de 3 ori (galben) și de 2 ori (albastru).

{3, 5} (I) și {5, 3} (D)	{5, 5/2} (gD) și {5/2, 5} (sD)	{3, 5/2} (gI) și {5/2, 3} (gsD)
(animație)	(animație)	(animație)
(animație)	(animație)	(animație)

proiecții ortogonale
Poliedrele platonice din aceste imagini au același rază a sferei mediane, deci toate proiecțiile care se repetă de 5 ori de mai jos sunt într-un decagon de aceeași dimensiune. (A se compara cu proiecțiile compușilor.) Asta implică faptul că sD, gsD și gI au muchiile de aceeași lungime, și anume, lungimea laturilor pentagramelor din decagonul înconjurător.

Istoric

Majoritatea, dacă nu toate, dintre poliedrele Kepler–Poinsot erau cunoscute într-o formă sau alta înainte de Kepler. Un mic dodecaedru stelat apare într-un mozaic de marmură (panou încrustat) pe podeaua bazilicii Sfântul Marcu din Veneția. Datează din secolul al XV-lea și este uneori atribuit lui Paolo Uccello.^[7]

În Perspectiva corporum regularium (română Perspectiva corpurilor regulate), o carte de xilografii publicată în 1568, Wenzel Jamnitzer descrie marele dodecaedru stelat și marele dodecaedru, ambele prezentate mai jos. Există, de asemenea, o versiune trunchiată a micului dodecaedru stelat.^[8] Din aranjamentul general al cărții reiese clar că el considera doar cele cinci poliedre platonice ca fiind regulate.

Micul și marele dodecaedru stelat, numite uneori poliedre Kepler, au fost recunoscute pentru prima dată ca fiind regulate Johannes Kepler în jurul anului 1619.^[9] Le-a obținut prin stelarea dodecaedrului regulat convex, tratându-l pentru prima dată mai degrabă ca o suprafață decât un corp. Kepler a observat că extinzând marginile sau fețele dodecaedrului convex până când s-au întâlnit din nou, ar putea obține pentagoane stelate. Mai mult, a recunoscut că aceste pentagoane stelate sunt regulate. În acest fel a construit cele două dodecaedre stelate. Fiecare are regiunea convexă centrală a fiecărei fețe „ascunsă” în interior, cu doar brațele triunghiulare vizibile. Pasul final al lui Kepler a fost să recunoască faptul că aceste poliedre se potrivesc definiției regularității, chiar dacă nu erau convexe, așa cum erau poliedrele platonice.

În 1809, Louis Poinsot a redescoperit figurile lui Kepler, prin asamblarea pentagoanelor stelate în jurul fiecărui vârf. De asemenea, el a asamblat poligoane convexe în jurul vârfurilor poligoanelor stelate pentru a descoperi încă două poliedre stelate regulate, marele icosaedru și marele dodecaedru. Unii le numesc pe acestea două „poliedre Poinsot”. Poinsot nu știa dacă descoperise toate poliedrele stelate regulate.

Trei ani mai târziu, Augustin Cauchy a demonstrat că lista este completă prin stelarea poliedrelor platonice, iar aproape jumătate de secol după aceea, în 1858, Joseph Bertrand a oferit o demonstrație mai elegantă prin fațetarea acestora.

În anul următor Arthur Cayley a dat poliedrelor Kepler–Poinsot numele sub care sunt cunoscute astăzi.

O sută de ani mai târziu, John Conway a realizat o terminologie sistematică pentru stelări până în patru dimensiuni. În cadrul acestei scheme, micul dodecaedru stelat este doar „dodecaedru stelat”.


Mozaicul de pe podeaua bazilicii Sfântul Marcu din Veneția.	Marele dodecaedru și marele dodecaedru stelat în Perspectiva Corporum Regularium de Wenzel Jamnitzer (1568)		Dodecaedre stelate în Harmonices Mundi de Kepler (1619)	Model de carton la Universitatea din Tübingen (c. 1860)

Note

^ Coxeter, Star polytopes and the Schläfli function f(α,β,γ) p. 121 1. The Kepler–Poinsot polyhedra
^ Conway et. al. (2008), p.405 Figure 26.1 Relationships among the three-dimensional star-polytopes
^ en "augmented dodecaedru to which I have given the name of Echinus" (Harmonices Mundi, Book V, Chapter III — p. 407 in the translation by E. J. Aiton)
^ en "These figures are so closely related the one to the dodecaedru the other to the icosaedru that the latter two figures, particularly the dodecaedru, seem somehow truncated or maimed when compared to the figures with spikes." (Harmonices Mundi, Book II, Proposition XXVI — p. 117 in the translation by E. J. Aiton)
^ en "A small stellated dodecaedru can be constructed by cumulation of a dodecaedru, i.e., building twelve pentagonal pyramids and attaching them to the faces of the original dodecaedru." Eric W. Weisstein, Small Stellated Dodecaedru la MathWorld.
^ en "Another way to construct a great stellated dodecaedru via cumulation is to make 20 triangular pyramids [...] and attach them to the sides of an icosaedru." Eric W. Weisstein, Great Stellated Dodecaedru la MathWorld.
^ en Coxeter, H. S. M. (2013). „Regular and semiregular polyhedra”. În Senechal, Marjorie. Shaping Space: Exploring Polyhedra in Nature, Art, and the Geomtrical Imagination (ed. 2nd). Springer. pp. 41–52. See in particular p. 42.
^ Fișier:Perspectiva Corporum Regularium 27e.jpg
^ H.S.M. Coxeter,P. Du Val, H.T. Flather and J.F. Petrie; The Fifty-Nine Icosahedra, 3rd Edition, Tarquin, 1999. p. 11

Bibliografie

fr J. Bertrand, Note sur la théorie des polyèdres réguliers, Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, 46 (1858), pp. 79–82, 117.
fr Augustin-Louis Cauchy, Recherches sur les polyèdres. J. de l'École Polytechnique 9, 68-86, 1813.
en Arthur Cayley, On Poinsot's Four New Regular Solids. Phil. Mag. 17, pp. 123–127 and 209, 1859.
en John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, The Symmetry of Things 2008, ISBN: 978-1-56881-220-5 (Chapter 24, Regular Star-polytopes, pp. 404–408)
en Kaleidoscopes: Selected Writings of H. S. M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN: 978-0-471-01003-6 [1]
- (Paper 1) H.S.M. Coxeter, The Nine Regular Solids [Proc. Can. Math. Congress 1 (1947), 252–264, MR 8, 482]
- (Paper 10) H.S.M. Coxeter, Star Polytopes and the Schlafli Function f(α,β,γ) [Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) 25–36]
en Theoni Pappas, (The Kepler–Poinsot Solids) The Joy of Mathematics. San Carlos, CA: Wide World Publ./Tetra, p. 113, 1989.
fr Louis Poinsot, Memoire sur les polygones et polyèdres. J. de l'École Polytechnique 9, pp. 16–48, 1810.
en Lakatos, Imre; Proofs and Refutations, Cambridge University Press (1976) - discussion of proof of Euler characteristic
en Wenninger, Magnus (1983). Dual Models. Cambridge University Press. ISBN 0-521-54325-8. , pp. 39–41.
en John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, The Symmetries of Things 2008, ISBN: 978-1-56881-220-5 (Chapter 26. pp. 404: Regular star-polytopes Dimension 3)
en Anthony Pugh (1976). Polyhedra: A Visual Approach. California: University of California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7. Chapter 8: Kepler Poisot polyhedra

Legături externe

Materiale media legate de poliedru Kepler-Poinsot la Wikimedia Commons
en Eric W. Weisstein, Kepler–Poinsot solid la MathWorld.
en Paper models of Kepler–Poinsot polyhedra
en Free paper models (nets) of Kepler–Poinsot polyhedra
en The Uniform Polyhedra
en Kepler-Poinsot Solids in Visual Polyhedra
en VRML models of the Kepler–Poinsot polyhedra
en Stellation and facetting - a brief history
en Stella: Polyhedron Navigator: Software folosit la crearea multor imagini din această pagină.

Portal matematică

[1] Coxeter, Star polytopes and the Schläfli function f(α,β,γ) p. 121 1. The Kepler–Poinsot polyhedra

[2] Conway et. al. (2008), p.405 Figure 26.1 Relationships among the three-dimensional star-polytopes

[3] "augmented dodecaedru to which I have given the name of Echinus" (Harmonices Mundi, Book V, Chapter III — p. 407 in the translation by E. J. Aiton)

[4] "These figures are so closely related the one to the dodecaedru the other to the icosaedru that the latter two figures, particularly the dodecaedru, seem somehow truncated or maimed when compared to the figures with spikes." (Harmonices Mundi, Book II, Proposition XXVI — p. 117 in the translation by E. J. Aiton)

[5] "A small stellated dodecaedru can be constructed by cumulation of a dodecaedru, i.e., building twelve pentagonal pyramids and attaching them to the faces of the original dodecaedru." Eric W. Weisstein, Small Stellated Dodecaedru la MathWorld.

[6] "Another way to construct a great stellated dodecaedru via cumulation is to make 20 triangular pyramids [...] and attach them to the sides of an icosaedru." Eric W. Weisstein, Great Stellated Dodecaedru la MathWorld.

[7] Coxeter, H. S. M. (2013). „Regular and semiregular polyhedra”. În Senechal, Marjorie. Shaping Space: Exploring Polyhedra in Nature, Art, and the Geomtrical Imagination (ed. 2nd). Springer. pp. 41–52. See in particular p. 42.

[8] Fișier:Perspectiva Corporum Regularium 27e.jpg

[9] H.S.M. Coxeter,P. Du Val, H.T. Flather and J.F. Petrie; The Fifty-Nine Icosahedra, 3rd Edition, Tarquin, 1999. p. 11

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]